Учебные материалы по разделу

Производная является одним из наиболее распространённых математических объектов, причем не только в физике, но и во всех технических науках. Любая динамическая система обязательно описывается каким-либо дифференциальным уравнением или системой таковых, а в них всегда входит производная в том или ином виде.

Производная показывает, как быстро меняется функция в зависимости от изменения аргумента. Принято использовать различные обозначения производной \(f(x)\), например: \(f´(x), f^{(1)}(x), f^{(1)}_x(x)\), но наиболее распространённым и правильным будет вид отношения дифференциалов \(\dfrac{df}{dx}\)(о самих дифференциалах поговорим чуть позже).

Опр.: Функция \(f(x)\) имеет производную в точке \(x=x_0\), если существует конечный предел\[\dfrac{df}{dx}(x_0)=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)}{\Delta x}.\]Рассмотрим пример:
\[f(x) = x^2\quad\Rightarrow\quad f(x_0+\Delta x)=(x_0+\Delta x)^2=x_0^2+2x_0\cdot\Delta x+\Delta x^2,\]\[\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{2x_0\cdot\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x} = 2x_0+\Delta x \underset{\Delta x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 2x_0,\]\[f'(x)=\dfrac{df}{dx}=2x,\]что многим хорошо знакомо из школы.

Разберемся с понятием дифференциала. Дифференциал - незаменимый объект в математике, он моделирует бесконечно малую ненулевую величину. Поэтому сравнивать дифференциал чего-либо с конечной величиной некорректно, имеет смысл рассматривать лишь отношение бесконечно малых величин. В частности, можно было заметить:\[df=f'(x)dx\underset{f(x)=x^2}{=\!=\!=}2xdx.\]В то же время, приращение функции:
\[\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\underset{f(x)=x^2}{=\!=\!=}2x\Delta x +\Delta x^2,\]из чего следует, что дифференциал - это линейная по приращению аргумента часть приращения функции (часть, связанная с \(\Delta x^1\) для \(f(x)\)). Можно увидеть, что в случае бесконечно малых приращений \(\Delta x \rightarrow 0\) второе слагаемое будет убывать к нулю значительно быстрее, чем первое, и его влияние на \(\Delta f\) будет пренебрежимо мало. Так, физическими рассуждениями о порядке малости слагаемых можно сделать вывод о справедливости записей \(df=2xdx\) и, соответственно:\[\dfrac{df}{dx}=2x=f'(x).\]

Если работать с дифференциалами как с дробями, можно легко получить некоторые свойства производной, например, вид производной сложной функции (композиции функций):\[f'_x(y(x))=\frac{df}{dx}\cdot1=\frac{df}{dx}\cdot\frac{dy}{dy}=\frac{df}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=f'_y(y)\bigg\vert_{y=y(x)}\cdot y'_x(x).\]Таким образом, используя дифференциалы, можно легко выводить некоторые свойства производной. В следующем видео рассмотрим дополнительные примеры с использованием дифференциалов и вычислением производной.