Учебные материалы по разделу

Для векторов мы уже ввели операции сложения, умножения на константу и скалярное произведение. Дополним наш набор операций еще одной важной процедурой - поворотом вектора.

Рис. 1: Поворот вектора.

Введём двумерную декартову систему координат, проведём в ней вектор \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}\) из начала координат. Обозначим \(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix}\) как вектор, полученный поворотом вектора \(\vec{a}\) на некоторый угол \(\varphi\). Заметим, что при повороте вектора его длина не изменяется, следовательно, \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). Связь между этими двумя векторами записывается в виде:\[\vec{b} = \hat M\cdot\vec{a},\]где \(\hat M\) - матрица направляющих косинусов.

Опр.: Матрицей направляющих косинусов (или матрицей поворота) будем называть матрицу вида:\[\hat M = \begin{pmatrix} \cos{\varphi}& -\sin{\varphi}\\ \sin{\varphi}& \cos{\varphi} \end{pmatrix},\]где \(\varphi\) - угол поворота вектора.