Учебные материалы по разделу

Опр.: Скалярным произведением вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) называется операция:\[(\vec{a},\vec{b}) \overset{\mathrm{def}}{=\!=} a_xb_x + a_yb_y,\]где \(a_x, a_y, b_x, b_y\) - координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Как видно из определения, результатом операции скалярного произведения является число.

Скалярное произведение также может записываться и в ином виде: \[(\vec{a},\vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\varphi},\]где \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а угол \(\varphi\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Из данной записи видно, что операция скалярного произведения коммутативна, т. е. \((\vec{a},\vec{b}) = (\vec{b},\vec{a}).\)

Зная координаты двух векторов, с помощью скалярного произведения легко найти значение косинуса угла между ними:\[\cos{\varphi} = \frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}.\]