Учебные материалы по разделу

Рассмотрим пример:
\[f(x)=\left(\sin x^2\right)^2.\]Обозначим \(f(x)=w(z(y(x))),\) где \(y=x^2,\ z=\sin y,\ w = z^2=f(x).\) Используя свойство производной сложной функции:\[\frac{df}{dx}\underset{(1)}{=}\frac{df}{dz}\cdot\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\underset{(2)}{=}2z\cdot\cos y\cdot 2x\underset{(3)}{=}2\sin x^2\cdot\cos x^2\cdot 2x \underset{(4)}{=} 2x\sin(2x^2),\]где (1) соответствует производная сложной функции (нетрудно проверить, сократив \(dz\) и \(dx\)), (2) - известные производные простых функций, (3) - подстановка функций и (4) - использование формулы \(\sin2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi\).

Другой пример: 
Производная обратной функции:\[\frac{dx}{df}=\frac{1}{\frac{df}{dx}},\]где, например, \(f(x)=x^2,\ x\geq0\Rightarrow x=\sqrt{f}\):\[\frac{dx}{df}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{f}}=\frac{1}{2x}=\frac{1}{\frac{df}{dx}},\]и несложно проверить, что для отрицательных \(x\) результат не изменится.

Еще один пример:
Производная произведения функций \(f,g\):\[(f\cdot g)'=f'g+g'f.\]