Учебные материалы по разделу

Поговорим немного о матрицах:

При решении задач по физике зачастую становится необходимым прибегнуть к математическому объекту, именуемому матрицей.

Опр.: Матрицей \(\hat M_{m\times n}\) называют таблицу чисел, в которой \(m\) строк и \(n\) столбцов.

Матрицы записывают в виде:\[\hat M = \begin{pmatrix} m_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22} \end{pmatrix},\]числа \(m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}\) называют элементами матрицы.

Простейшие операции над матрицами:

• сложение матриц: при сложении двух матриц элементы итоговой матрицы равны сумме соответствующих элементов:\[\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22} \end{pmatrix};\]
• умножение на константу: при умножении матрицы на константу умножается каждый элемент матрицы:\[\alpha\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a_{11}& \alpha a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22} \end{pmatrix};\]
• умножение матриц: для матриц \(\hat A_{m\times n}\) и \(\hat B_{n\times k}\) (количество столбцов матрицы \(\hat A\) должно быть равно количеству строк матрицы \(\hat B\)) определена операция умножения:\[\hat A\hat B = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} = \hat C_{m\times k}.\]

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Для квадратных матриц \(\hat A\) и \(\hat B\) определены операции \(\hat A\hat B\) и \(\hat B\hat A\), причём умножение квадратных матриц не коммутативно, т. е. \(\hat A\hat B \neq\hat B\hat A\).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_2\): Вектор-столбец - пример матрицы \(\hat M_{n\times 1}\), где \(n\) - размерность пространства (количество компонент вектора). Так как вектор-столбец является матрицей, к нему применимы все свойства матриц, в том числе и умножение.

Вернёмся к матрице поворота.

Умножим матрицу поворота на вектор \(\vec{a}\). Запишем получившийся вектор:\[\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x\cos{\varphi} - a_y\sin{\varphi}\\ a_x\sin{\varphi} + a_y\cos{\varphi} \end{pmatrix}.\]Таким образом, при помощи матрицы направляющих косинусов мы получили координаты вектора \(\vec{b}\), полученного поворотом вектора \(\vec{a}\) на угол \(\varphi\).