Учебные материалы по разделу

В трехмерном пространстве мы можем рассмотреть любой поворот вектора в качестве комбинации поворотов вектора относительно трех осей. 

Запишем матрицы поворота:

•  относительно оси \(x\):\[\hat M_x(\varphi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix};\]

• относительно оси \(y\):\[\hat M_y(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & 0 & \sin \varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \varphi & 0 & \cos \varphi \end{pmatrix};\]

• относительно оси \(z\):\[\hat M_z(\varphi ) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Матрица произвольного поворота вектора в трёхмерном пространстве записывается в виде произведения соответствующих матриц:\[\hat M_x(\alpha)\cdot\hat M_y (\beta)\cdot\hat M_z(\gamma) = \begin{pmatrix} \cos \beta \cos \gamma & -\sin \gamma \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \sin \gamma - \sin \beta \cos \alpha \cos \gamma & \sin \alpha \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}.\]\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Так как матрица произвольного поворота описывается произведением квадратных матриц, операция комбинации поворотов вектора относительно различных осей не коммутативна!