Учебные материалы по разделу

Пример 1: \[y' + \alpha y = 0\]

Данное уравнение является линейным (любая линейная комбинация решений уравнения тоже будет являться решением), однородным (в уравнении нет слагаемых, не зависящих от \(y\)), уравнением первого порядка (в уравнении встречается только первая производная) с постоянными коэффициентами.

Решения данного уравнения ищутся в виде \(y = Ce^{\lambda x}, C\neq0\). При подстановке получим:\[C\cdot\lambda e^{\lambda x} + \alpha C\cdot e^{\lambda x} = 0;\\ C(\lambda + \alpha) = 0 \Rightarrow \lambda = -\alpha.\]Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид:\[y = Ce^{-\alpha x}.\]В силу неопределенности константы \(C\) уравнение будет иметь бесконечное множество решений. Нахождение конкретного значения \(C\) становится возможным при наличии некоторого условия для дифференциального уравнения, например, при наличии начальных условий. Пусть \(y(0) = 1\), тогда:\[y(0) = Ce^{-\alpha\cdot0} = 1​ \Rightarrow C = 1.\]Таким образом, при наличии начального условия \(y(0) = 1\) решение уравнения принимает вид:\[y(x) = e^{-\alpha x}.\]

Пример 2:

Видоизменим уравнение из предыдущего примера, в правой части поставив переменную \(x\).\[y' + \alpha y = x.\]В этом уравнении есть слагаемое, не зависящее от \(y\), следовательно, такое уравнение мы будем называть неоднородным.

Теория решения дифференциальных уравнений говорит нам о том, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Общее решение однородного уравнения мы нашли в предыдущем примере:\[y = Ce^{-\alpha x}.\]Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде полинома \(y_{\text{ч.р.}}=ax+b\). Подставим данный полином в уравнение:\[a + \alpha(ax+b) = x,\]\[(a+\alpha b) + \alpha ax = x.\]Последнее равенство следует воспринимать как равенство двух полиномов: два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях \(x\). Таким образом:\[\begin{cases} \alpha a = 1,\\ a+\alpha b = 0, \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{\alpha},\\ b = -\frac{1}{\alpha^2}. \end{cases}\]Частное решение неоднородного уравнения примет вид:\[y_{\text{ч.р.}} = \frac{x}{\alpha} - \frac{1}{\alpha^2}.\]Подстановкой данного выражения в неоднородное уравнение можно убедиться, что выражение действительно является решением.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:\[y_{\text{о.р.н.д.у.}} = Ce^{-\alpha x} + \frac{x}{\alpha} - \frac{1}{\alpha^2}.\]