Учебные материалы по разделу

Большое количество различных способов записи комплексных чисел позволяет использовать свойства данных чисел наиболее удобным образом. Основные операции с комплексными числами:

1. Взятие вещественной и мнимой части - обозначается как \(\mathrm{Re}\;z\) и \(\mathrm{Im}\;z\):\[z = a+ib \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Re}\;z = a,\quad \mathrm{Im}\;z = b.\]Воспользовавшись формулой Эйлера, получим:\[\cos\varphi = \mathrm{Re}\;e^{i\varphi}, \quad \sin\varphi = \mathrm{Im}\;e^{i\varphi};\]
2. Сложение чисел - действительная и мнимая части чисел независимо складываются между собой:\[(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d).\]В векторном представлении комплексные числа складываются как обычные векторы:\[\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + c\\ b + d \end{pmatrix};\]
3. Домножение на константу - аналогично домножению вектора на константу:\[\alpha\cdot(a+ib) = \alpha a + i\alpha b;\]
4. Перемножение комплексных чисел:\[(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc - bd = (ac - bd) + i(ad + bc).\]Данную операцию значительно удобнее выполнять в экспоненциальной форме записи комплексных чисел:\[\rho_1e^{i\varphi_1}\cdot\rho_2e^{i\varphi_2} = \rho_1\rho_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\]т. е. длины векторов перемножаются, а аргументы складываются;
    
5. Возведение в степень - для числа в экспоненциальной форме:\[z^n = \rho^n e^{in\varphi},\]для числа в тригонометрической форме применяется формула Муавра:\[z^n = \rho^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi));\]
6. Взятие корня \(n\)-ной степени - так как аргумент комплексного числа определен с точностью до поворота на \(2\pi k\), где \(k\) - целое число, операция взятия корня \(n\)-ной степени выглядит следующим образом:\[z^{\frac{1}{n}}= \rho^{\frac{1}{n}} e^{i(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n})},\]в тригонометрической форме записи:\[z^{\frac{1}{n}} = \rho^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n}\right)\right);\]
7. Комплексное сопряжение - комплексное число, которое отличается от числа \(z\) только знаком мнимой части, называется комплексно-сопряжённым к числу \(z\) и обозначается чертой над числом:\[z = a+ib \quad\Longrightarrow\quad \bar{z} = a-ib,\\ z = \rho e^{i\varphi} \quad\Longrightarrow\quad \bar{z} = \rho e^{-i\varphi}.\]На плоскости комплексно-сопряженное число - отражённая относительно оси абсцисс точка, т. к. действительная часть остаётся прежней, а мнимая меняется на противоположную. Также можно заметить, что произведение числа \(z\) на его комплексно-сопряжённое даст квадрат длины вектора:\[z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + iab - iab + b^2 = a^2 + b^2,\\ z\bar{z} = \rho e^{i\varphi}\cdot\rho e^{-i\varphi} = \rho^2.\]

8. Стоит также отметить, что взятие производной от комплекснозначной функции не отличается от взятия производной вещественной функции - с мнимой единицей при дифференцировании следует обращаться как с обычной константой.