Учебные материалы по разделу

С помощью данных операций получим некоторые интересные результаты. Возьмём точку с координатами \((1,0)\). Данная точка соответствует вещественной единице. Умножим её на мнимую единицу, получим точку \((0,i)\), что соответствует мнимой единице. Умножив ее на \(i\) ещё раз, т. е. возведя в квадрат, получим \((-1,0)\), что соответствует вещественной \(-1\). Можно заметить, что умножение числа на мнимую единицу поворачивает комплексный вектор на \(\pi/2\).

Рис. 2: Поворот вектора при домножении на \(i\).

Данный факт легко пронаблюдать, если записать произведение в экспоненциальной форме:\[i = e^{i\frac{\pi}{2}} \quad\Longrightarrow\quad z\cdot i = \rho e^{i(\varphi+\frac{\pi}{2})}.\]Заметим, что действительную и мнимую часть можно записать следующим образом:\[\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}, \quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.\]Подставив \(z = e^{i\varphi}\) и воспользовавшись формулой Эйлера, получим выражения для функций косинуса и синуса:\[\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}},\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}.\]