Учебные материалы по разделу

Законы Ньютона

Разобравшись с тем, как тела будут двигаться, когда внешние силы отсутствуют, необходимо теперь ответить на вопрос: как они будут двигаться под действием внешних сил? Для этого нужно сформулировать второй закон Ньютона. Но прежде чем мы дадим формулировку, опять выполним ряд мысленных экспериментов.

Предположим, мы двигаемся вдоль прямой с тележкой. Мы хотим её затормозить; чтобы её затормозить, нужно приложить какую-то силу (под торможением мы будем подразумевать, что мы меняем скорость этой тележки от конечной до нулевой). И, чисто из нашего житейского опыта, мы понимаем, что сила будет пропорциональна изменению скорости (если тележка изначально двигалась с большой скоростью, то нам необходимо прикладывать большую силу, чем если бы тележка двигалась с очень маленькой начальной скоростью). Мы понимаем, что силу нужно прикладывать большую, чем больше масса тележки. Также важным фактором будет то, за какой промежуток времени мы хотим совершить торможение. Представьте, что вас попросили затормозить очень тяжёлую тележку ,например, от 2 м/с до 0 м/с за 20 с. А представьте, что вас попросили это сделать за полсекунды; значит, потребуется приложить большую силу, чтобы достигнуть того же эффекта. Таким образом, чем меньше времени дано, чтобы достигнуть этого эффекта, тем большую силу нам нужно прикладывать. Тогда:\[F\sim \frac{m \Delta \upsilon}{\Delta t}.\]Выбором системы единиц знак пропорциональности всегда можно заменить на равенство; так и было сделано в системе СИ, где были подобраны Ньютоны, килограммы, метры и секунды: \[F\approx \frac{m \Delta \upsilon}{\Delta t}.\] Почему здесь стоит приближённое равенство? Потому что сама \(F\) может являться функцией времени, она может быть переменной, и не очень понятно, в какой из моментов времени в рамках промежутка \(\Delta t\) надо выбирать значение этой силы. Для этого необходимо (что и было сделано собственно Ньютоном) перейти к бесконечно малым величинам и векторным величинам: \[\overrightarrow{F}=m\frac{d\vec{\upsilon}}{dt}.\]Когда мы тормозим тележку знак \(d{\upsilon}\) будет отрицательным, значит направление скорости и направление силы будут противоположными; если мы тормозим тележку, значит сила должна быть направлена против её движения. С другой стороны, если мы разгоняем тележку, то сила должна быть сонаправлена со скоростью.

На самом деле под \(\overrightarrow{F}\) понимается некая суперпозиция всех действующих сил:\[\overrightarrow{F}=\sum _{i=1}^M\overrightarrow{F_i}.\]Таким образом, запишем основной закон классической механики — второй закон Ньютона:\[m\frac{d\vec\upsilon}{dt}=\sum _{i=1}^M\overrightarrow{F_i},\]или через ускорение:\[m\vec{a}=\overrightarrow{F}.\]На этом этапе можно ввести важное понятие — понятие импульса. Импульс равен произведению массы тела на скорость тела:\[\vec{p}=m\vec{\upsilon}.\]Нетрудно понять, считая массу неизменной величиной, что:\[\frac{d\vec{p}}{dt}=\overrightarrow{F}.\]Преимущество данной записи в том, что она справедлива не только в случае классической механики, но и в случае релятивистской механики, где под \(\vec{p}\) будет пониматься релятивистский импульс.