Учебные материалы по разделу

В качестве первого примера рассмотрим одномерный случай, когда сила зависит только от времени:\[F=F(t), \:x(t=0)=x_0,\: \upsilon(t=0)=\upsilon_0.\]Запишем второй закон Ньютона:\[m \frac{d\upsilon}{dt}=F(t) \quad\Longrightarrow \quad d\upsilon=\frac{1}{m}F(t)dt.\]Проинтегрируем выражение для \(d\upsilon\):\[\int \limits _{\upsilon_0}^{\upsilon(t)}d\upsilon=\frac{1}{m}\int \limits _{t_0}^{t}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}},\]Отсюда получаем:\[\upsilon=\upsilon_0+\frac{1}{m}\int \limits _{0}^{t}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Т.к. \(\upsilon=\dfrac{dx}{dt}\), то:\[\int \limits _{x_0}^{x(t)}dx=\upsilon_0\int \limits _{0}^{t}d{\widetilde{t}}+\frac{1}{m} \int \limits _{0}^{t}d\widetilde {\widetilde{t}} \int \limits _{0}^{\widetilde {\widetilde{t}}}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Таким образом, мы получаем решение в общем виде:\[x(t)=x_0+\upsilon_0 t+\frac{1}{m} \int \limits _{0}^{t}d\widetilde {\widetilde{t}} \int \limits _{0}^{\widetilde {\widetilde{t}}}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Пример:

Пусть мы имеем некую зависимость \(F(t)=\alpha t\). Решением прямой задачи динамики для этого случая будет выражение:\[x(t)=x_0+\upsilon_0t+\frac{\alpha}{m} \frac{t^3}{6}.\]Продифференцировав эту функцию дважды по времени, мы получим исходную зависимость.

Вот таким способом можно решать задачи, когда сила зависит только от времени; для более сложных случаев пользуются численным способом. Перейдем к следующему примеру.