Учебные материалы по разделу
4. Прямая и обратная задача динамики
4.2. Пример 2
Теперь рассмотрим пример, когда сила зависит только от координаты и проанализируем одномерные случаи:
\[F=F(x), \;x(t=0)=x_0, \;\upsilon (t=0)= \upsilon_0.\]Запишем второй закон Ньютона:\[m \frac{dV}{dt}=F(x).\]Т.к. \(V=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow dt=\dfrac{dx}{V}\), то:\[m \frac{dV}{dx}V=F(x),\]\[V\cdot dV=\frac{1}{m} F(x) dx.\]Проинтегрируем левую и правую часть:\[\int \limits _{V_0}^{V(t)}V\cdot dV=\frac{1}{m} \int \limits _{x_0}^{x(t)}F(x) dx= \frac{1}{2} (V^2(t)-V_0^2),\]\[V(t)=\pm \sqrt{V_0^2+\frac{2}{m}\int\limits_{x_0}^{x(t)}F(\widetilde{x})d\widetilde{x}}=\frac{dx}{dt},\]\[\int \limits_{t_0}^{t}{d\widetilde{t}}=\pm \int \limits_{x_0}^{x(t)}\frac{dx}{ \sqrt{V_0^2+\dfrac{2}{m}\int\limits_{x_0}^{x}F(\widetilde{x})d\widetilde{x}}}.\]Т.к. \(t\) меняется от \(t_0\) до \(t\), берём положительное выражение:\[t= \int \limits_{x_0}^{x(t)}\frac{dx}{ \sqrt{V_0^2+\dfrac{2}{m}\int\limits_{x_0}^{x}F(\widetilde{x})d\widetilde{x}}}.\]Мы получили закон движения в неявном виде, чтобы получить явный вид, нужно разобраться, какую силу мы собираемся анализировать. Перейдём к последнему примеру.