Учебные материалы по разделу

Рассмотрим последний пример, когда сила зависит от скорости:\[F=F(\upsilon),\; x(0)=x_0,\;\upsilon(0)=\upsilon_0.\]Запишем второй закон Ньютона:\[m \frac{dV}{dt}=F(\upsilon) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{F(\upsilon)}=\frac{dt}{m}.\]Проинтегрируем это выражение:\[\int\limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(V)}=\int \limits_0^t\frac{d \widetilde{t}}{m},\]\[t=m \int \limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(\upsilon)}.\]Пусть \(F(\upsilon)=-\alpha \upsilon\), \(\alpha>0\)  тогда:\[t=m \int \limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(\upsilon)}=-\frac{m}{\alpha} \int\limits_{V_0}^{V(t)}\frac{dV}{V}=-\frac{m}{\alpha}\mathrm{ln}|\frac{V(t)}{V_0}|,\]\[V(t)=V_0 \cdot e^{-\frac{\alpha t}{m}}=\frac{dx}{dt},\]\[\int\limits_{x_0}^{x(t)}dx=V_0 \int\limits_{t_0=0}^{t} e^{-\frac{\alpha\widetilde{t}}{m}}d\widetilde{t},\]\[x(t)=x_0+\frac{mV_0}{\alpha}(1-e^{-\frac{\alpha t}{m}}).\]Мы получили закон движения для случая, когда сила зависит от скорости.