Учебные материалы по разделу

В физике часто обращаются к моделям объектов, тел или процессов для их дальнейшего исследования. Наиболее популярной моделью является материальная точка - тело, формой и размерами которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи. Чтобы охарактеризовать материальную точку, нужно знать её скорость и положение в пространстве, которое описывается координатами.

Под координатой будем понимать число, зная которое можно однозначно определить положение материальной точки. Однако само число не имеет большого смысла, пока не определена система, устанавливающая связь между этим числом и непосредственно положением точки в пространстве. Следовательно, возникает необходимость введения такой системы. Введём понятие координатной оси для установления связи между положением точки и некоторым числом. Она представляет собой направленную прямую с началом оси (точкой нуля) и мерой - эквидистантными рисками - рисками, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга. Нетрудно догадаться, что определение нуля и любой из рисок однозначно задает все остальные риски на оси.

Рис. 1: Координатная ось \(x\).

В трёхмерном случае для однозначного определения положения материальной точки недостаточно одной координатной оси, в связи с чем возникает необходимость ввести систему координатных осей (систему координат). Например, самой интуитивной для большинства является система из трёх взаимно перпендикулярных осей \(x, y,z\) - осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Эта система координат имеет одну точку пересечения - начало координат \(O(0,0,0)\) и называется декартовой прямоугольной системой координат (ДПСК). Координаты произвольной точки в такой системе координат можно найти, опустив перпендикуляры на оси и измерив расстояния от начала координат до соответствующих перпендикуляров (точек их пересечения с осями). При этом, расстояния могут быть как положительными, так и отрицательными в случаях, когда расстояние отсчитывается противоположно направлению рассматриваемой оси.

Рис. 2: Декартова прямоугольная система координат, точка \(A(x,y,z)\) в ней.

Существуют и другие системы координат. Например, в цилиндрической системе координат из ДПСК ось \(z\) остаётся без изменений, а \(x\) и \(y\) заменяются на \(\rho\) и \(\varphi\) - радиус окружности и угол (азимутальный угол) точки на ней (см. Рис. 3). Заметим, что такие окружности должны лежать в плоскости, параллельной \(xOy\), ведь координата \(z\) на каждой из них постоянна.

Рис. 3: Цилиндрическая система координат, точка \(A(\rho,\varphi,z)\) в ней.

Взаимоотношение координат в ДПСК с таковыми в цилиндрической системе координат можно описать системой уравнений:\[\begin{cases} z = z, \\ y = \rho \sin\varphi, \\ x = \rho \cos\varphi, \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2},\\ \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right),\\ z=z. \end{cases}\]Сферическая система координат будет рассмотрена далее.

Понятие сферической системы координат удобнее ввести, опираясь на декартову прямоугольную систему координат (ДПСК). Вместо расстояния до оси \(z\) рассматривают расстояние до начала координат \(r\) и азимутальный и зенитный углы - \(\varphi\) (отсчитываемый в плоскости \(xOy\) от оси \(x\) до проекции рассматриваемой точки) и \(\theta\) (отсчитываемый в плоскости \(zO\!A\) от оси \(z\) до луча \(OA\)).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Зенитный угол \(\theta\) также называют полярным, его область значений лежит в отрезке \([0\!\degree,180\!\degree]\), в то время как \(\varphi\in[0\!\degree,360\!\degree\!)\).

\(\mathrm{N\!\!B}_2\): Координаты в сферической системе координат принято записывать в порядке \((r,\theta,\varphi)\) (потому что орты координатных осей должны образовывать правую тройку - об этом поговорим чуть позже).

Рис. 4: Сферическая система координат, точка \(A(r,\theta,\varphi)\) в ней.

 Взаимоотношение координат в ДПСК с таковыми в сферической системе координат можно описать следующей системой уравнений:\[\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi,\\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\\ z=r\cos\theta, \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} r= \sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta=\operatorname{arctg}\left(\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right),\\\varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right). \end{cases}\] 

Одним из самых важных математических объектов, встречающихся в физике, является вектор.

Опр.: В геометрическом смысле, вектор - направленный отрезок определённой длины.

Разберемся с понятием вектора на конкретном примере. Введём декартову систему координат на плоскости, расположим на координатной плоскости точки \(A\) и \(B\). Соединив две точки, получим отрезок \(AB\), после чего зададим направление для данного отрезка стрелочкой.

Рис. 1: Вектор \(\overrightarrow{AB}\).

Получившийся объект будем называть вектором \(\overrightarrow{AB}\). Характеристикой вектора \(\overrightarrow{AB}\), отличающей его от других векторов, является набор координат. Введем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), соответствующие двум осям: \(AB_x\) и \(AB_y\). Итоговая запись вектора \(\overrightarrow{AB}\) выглядит так:\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} AB_x\\ AB_y \end{pmatrix}.\]\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Во избежание путаницы координат вектора и точек, координаты вектора записываются в столбик (отсюда происходит название - вектор-столбец).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_2\): Часто в тексте удобнее писать координаты вектора именно в строку, в таких случаях пишут \(\overrightarrow{AB} = (AB_x\quad AB_y)^T\) - транспонированный столбец.

Найдём координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\). Чтобы найти координату \(x\) вектора \(\overrightarrow{AB}\), вычтем из соответствующей координаты конечной точки координату начальной точки: \(AB_x = x_B - x_A\). Для координаты \(y\) вектора проделаем аналогичные действия. Запишем полученный вектор:\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} AB_x\\ AB_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_B - x_A\\ y_B - y_A \end{pmatrix}.\]Опр.: Проекцией вектора \(\overrightarrow{AB}\) на ось \(x\) (или его \(x\)-компонентой) называется его координата \(AB_x\).

При помощи компонент вектора легко найти значение длины вектора (записывается в виде \(\left|\overrightarrow{AB}\right|\)). Заметим, что компоненты вектора и сам вектор образуют прямоугольный треугольник, где компоненты - катеты. Таким образом, для нахождения длины вектора применим теорему Пифагора:\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2}.\]

Пример: Пусть: \(A (2.5, 3)\), \(B (4, 4)\).
Тогда:\[AB_x = 4 - 2.5 = 1.5,\\ AB_y = 4 - 3 = 1,\\ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1.5\\ 1 \end{pmatrix},\\ \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{1.5^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}.\]

Введем векторы:\[\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_x\\ c_y \end{pmatrix}.\]

Операции с векторами:

• Сложение векторов: \[\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} c_x = a_x + b_x,\\ c_y = a_y + b_y, \end{cases}\]т.е. координаты вектора суммы равны сумме координат векторов.
• Умножение вектора на константу:\[\vec{b} = \alpha\vec{a} \Leftrightarrow \begin{cases} b_x = \alpha a_x,\\ b_y = \alpha a_y, \end{cases}\]т.е. умножение вектора на константу умножает каждую его координату.

Также мы можем комбинировать операции сложения векторов и умножения на константу. Разложение вектора \(\vec{d}\) в виде\[\vec{d} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}\]называют линейной комбинацией векторов \(\vec{a},\vec{b}\) и \(\vec{с}\). 

Опр.: Скалярным произведением вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) называется операция:\[(\vec{a},\vec{b}) \overset{\mathrm{def}}{=\!=} a_xb_x + a_yb_y,\]где \(a_x, a_y, b_x, b_y\) - координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Как видно из определения, результатом операции скалярного произведения является число.

Скалярное произведение также может записываться и в ином виде: \[(\vec{a},\vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\varphi},\]где \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а угол \(\varphi\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Из данной записи видно, что операция скалярного произведения коммутативна, т. е. \((\vec{a},\vec{b}) = (\vec{b},\vec{a}).\)

Зная координаты двух векторов, с помощью скалярного произведения легко найти значение косинуса угла между ними:\[\cos{\varphi} = \frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}.\]

Введём в декартовой системе координат вектор \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}\). Запишем его в виде линейной комбинации двух векторов вида\(\vec{a} = a_x\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + a_y\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\). Заметим, что при помощи векторов \(\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\) и \(\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\) мы сможем записать в виде линейной комбинации любой вектор на плоскости. Назовем такой набор базисным.

Опр.: Базисным набором называется минимальный набор векторов, через который можно представить любой вектор в пространстве.

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Приведённый выше базис называют ортонормированным, т. к. \(\vec{e}_x\bot\vec{e}_y\) и \(|\vec{e}_x| = |\vec{e}_y| = 1.\)

В случае трехмерной декартовой системы координат простейший ортонормированный базис приобретает вид:\[\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]

Опр.: Векторным произведением вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) называется вектор \(\vec{c}\) :\[\vec{c}=[\vec{a}\times\vec{b}]=\vec{a}\times\vec{b}=[\vec{a},\vec{b}],\]

если его длина \(|c|=|a||b|\cdot \sin{\alpha}\). Вектор \(\vec{c}\) направлен так, чтобы он был перпендикулярен как вектору \(\vec{a}\), так и вектору \(\vec{b}\).

Рис. 2: Векторное произведение.

Для определения направления вектора \(\vec{c}\) можно воспользоваться правилом правой тройки векторов (правилом правого винта): как бы "закручивать" вектор \(\vec{a}\) в сторону вектора \(\vec{b}\).

Если вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются коллинеарными, то \(sin\alpha=0\)  и векторное произведение равно 0 (это удобный критерий коллинеарности векторов).

Более общее определение для векторного произведения будет иметь следующий вид:\[\vec{c}=\det \begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \vec{e_x}(a_yb_z-a_zb_y)-\vec{e_y}(a_xb_z-a_zb_x)+\vec{e_z}(a_xb_y-a_yb_x).\]

Если мы знаем, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в одной плоскости, то \(a_z=0, b_z=0\).

При помощи векторного произведения можно вычислять угол между векторами (когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в одной плоскости):\[\sin{\alpha}=\frac{|a_xb_y-a_yb_x|}{|a||b|}.\]

Производная является одним из наиболее распространённых математических объектов, причем не только в физике, но и во всех технических науках. Любая динамическая система обязательно описывается каким-либо дифференциальным уравнением или системой таковых, а в них всегда входит производная в том или ином виде.

Производная показывает, как быстро меняется функция в зависимости от изменения аргумента. Принято использовать различные обозначения производной \(f(x)\), например: \(f´(x), f^{(1)}(x), f^{(1)}_x(x)\), но наиболее распространённым и правильным будет вид отношения дифференциалов \(\dfrac{df}{dx}\)(о самих дифференциалах поговорим чуть позже).

Опр.: Функция \(f(x)\) имеет производную в точке \(x=x_0\), если существует конечный предел\[\dfrac{df}{dx}(x_0)=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)}{\Delta x}.\]Рассмотрим пример:
\[f(x) = x^2\quad\Rightarrow\quad f(x_0+\Delta x)=(x_0+\Delta x)^2=x_0^2+2x_0\cdot\Delta x+\Delta x^2,\]\[\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{2x_0\cdot\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x} = 2x_0+\Delta x \underset{\Delta x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 2x_0,\]\[f'(x)=\dfrac{df}{dx}=2x,\]что многим хорошо знакомо из школы.

Разберемся с понятием дифференциала. Дифференциал - незаменимый объект в математике, он моделирует бесконечно малую ненулевую величину. Поэтому сравнивать дифференциал чего-либо с конечной величиной некорректно, имеет смысл рассматривать лишь отношение бесконечно малых величин. В частности, можно было заметить:\[df=f'(x)dx\underset{f(x)=x^2}{=\!=\!=}2xdx.\]В то же время, приращение функции:
\[\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\underset{f(x)=x^2}{=\!=\!=}2x\Delta x +\Delta x^2,\]из чего следует, что дифференциал - это линейная по приращению аргумента часть приращения функции (часть, связанная с \(\Delta x^1\) для \(f(x)\)). Можно увидеть, что в случае бесконечно малых приращений \(\Delta x \rightarrow 0\) второе слагаемое будет убывать к нулю значительно быстрее, чем первое, и его влияние на \(\Delta f\) будет пренебрежимо мало. Так, физическими рассуждениями о порядке малости слагаемых можно сделать вывод о справедливости записей \(df=2xdx\) и, соответственно:\[\dfrac{df}{dx}=2x=f'(x).\]

Если работать с дифференциалами как с дробями, можно легко получить некоторые свойства производной, например, вид производной сложной функции (композиции функций):\[f'_x(y(x))=\frac{df}{dx}\cdot1=\frac{df}{dx}\cdot\frac{dy}{dy}=\frac{df}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=f'_y(y)\bigg\vert_{y=y(x)}\cdot y'_x(x).\]Таким образом, используя дифференциалы, можно легко выводить некоторые свойства производной. В следующем видео рассмотрим дополнительные примеры с использованием дифференциалов и вычислением производной.

Рассмотрим пример:
\[f(x)=\left(\sin x^2\right)^2.\]Обозначим \(f(x)=w(z(y(x))),\) где \(y=x^2,\ z=\sin y,\ w = z^2=f(x).\) Используя свойство производной сложной функции:\[\frac{df}{dx}\underset{(1)}{=}\frac{df}{dz}\cdot\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\underset{(2)}{=}2z\cdot\cos y\cdot 2x\underset{(3)}{=}2\sin x^2\cdot\cos x^2\cdot 2x \underset{(4)}{=} 2x\sin(2x^2),\]где (1) соответствует производная сложной функции (нетрудно проверить, сократив \(dz\) и \(dx\)), (2) - известные производные простых функций, (3) - подстановка функций и (4) - использование формулы \(\sin2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi\).

Другой пример: 
Производная обратной функции:\[\frac{dx}{df}=\frac{1}{\frac{df}{dx}},\]где, например, \(f(x)=x^2,\ x\geq0\Rightarrow x=\sqrt{f}\):\[\frac{dx}{df}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{f}}=\frac{1}{2x}=\frac{1}{\frac{df}{dx}},\]и несложно проверить, что для отрицательных \(x\) результат не изменится.

Еще один пример:
Производная произведения функций \(f,g\):\[(f\cdot g)'=f'g+g'f.\]

Первообразная.

Не менее часто используемой операцией в физике является взятие первообразной и нахождение определенного интеграла.

Опр.: Будем говорить, что \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\), если:\[\dfrac{dF}{dx} = f(x).\]​​​​​​Первообразная \(F(x)\) записывается следующим образом:\[F(x) = \int f(x)dx + \mathrm{const}.\]Стоит отметить, что нахождение первообразной - обратная взятию производной процедура, поэтому некоторые свойства первообразной совпадают со свойствами производной.

Простейшие свойства первообразной:

• аддитивность: \[\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx,\]
• однородность: \[\alpha\int f(x)dx = \int\alpha f(x)dx,\]
• взятие первообразной по частям:\[\int f(x)dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)df(x).\]

Рассмотрим пример:

Пусть \(f(x) = \cos{x}\). Для нахождения первообразной нам необходимо найти такую функцию, которая при дифференцировании давала бы \(\cos{x}\). Несомненно, такую производную имеет функция \(\sin{x}\), однако стоит не забывать об аддитивности первообразной: производная от константы при дифференцировании даёт ноль, \(f(x) = \cos{x} + 0\). Таким образом:\[F(x) = \sin{x} + C,\]где \(C = \mathrm{const}\). Константу \(C\) при нахождении первообразной мы не конкретизируем, чаще всего в реальных задачах она задаётся начальными условиями. В силу неопределённости константы первообразную часто называют неопределённым интегралом.

Чаще всего в задачах по физике мы не будем использовать первообразную в изначальном ее виде. Вместо неё будет использоваться понятие определённого интеграла.

Опр.: Интегралом от функции \(f(x)\) на промежутке \([a,b]\) называется число, определяемое следующим способом:\[\int\limits_a^bf(x)dx \overset{\mathrm{def}}{=\!=} \lim_{\mu(\Delta x)\to 0}\sum\limits_if(x_i)\Delta x_i,\]где \(\mu(\Delta x)\) - ранг дробления отрезка \([a,b]\), который определим далее.

Рис. 1: Определённый интеграл.

На координатной плоскости изобразим функцию \(f(x)\), на оси \(x\) отметим промежуток \([a,b]\). Разобьём промежуток \([a,b]\) на множество отрезков, которые будем называть \(\Delta x_i\), на каждом из отрезков отметим точку \(x_i\). Попробуем же вычислить \(\sum\limits_if(x_i)\Delta x_i.\)

Начнем рисовать вверх столбики от оси \(x\) до функции \(f(x)\) так, чтобы основанием каждого столбика был отрезок \(\Delta x_i\). Заметим, что верхняя граница этого столбика представляет собой некоторую линию, а \(f(x_i)\) - приблизительная высота столбика. Перемножая \(f(x_i)\Delta x_i\) , получим площадь \(i\)-того столбца.

Данный способ измерения площади столбика не является точным, так как столбец не является прямоугольником. Избавимся от ошибки при помощи предельного перехода.

Опр.: Назовём рангом дробления отрезка \([a,b]\) величину \(\mu(\Delta x)\) такую, что:\[\mu(\Delta x) \overset{\mathrm{def}}{=\!=} \max\limits_i{\Delta x_i},\]т.е. ранг дробления - длина наибольшего из отрезков \(\Delta x_i\), на которые мы разбили изначальный отрезок \([a,b]\).

Что же обозначает данный предельный переход? Устремляя ранг дробления к нулю, мы делаем каждый столбик всё у́же, из-за чего верхняя граница столбика становится все более похожей на горизонтальную прямую, следовательно, уменьшается ошибка вычисления площади столбика. Просуммировав площади всех столбиков, мы получим значение площади фигуры под графиком функции \(f(x)\) на промежутке \([a,b]\), что является одним из смыслов определённого интеграла.

В задачах для подсчета определенного интеграла чаще всего не нужно считать площадь под графиком при помощи суммирования площадей столбцов. На практике для аналитического подсчёта интегралов используют формулу Ньютона-Лейбница:

• если у функции \(f(x)\) есть первообразная, то: \[\int\limits_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).\]

Для векторов мы уже ввели операции сложения, умножения на константу и скалярное произведение. Дополним наш набор операций еще одной важной процедурой - поворотом вектора.

Рис. 1: Поворот вектора.

Введём двумерную декартову систему координат, проведём в ней вектор \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}\) из начала координат. Обозначим \(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix}\) как вектор, полученный поворотом вектора \(\vec{a}\) на некоторый угол \(\varphi\). Заметим, что при повороте вектора его длина не изменяется, следовательно, \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). Связь между этими двумя векторами записывается в виде:\[\vec{b} = \hat M\cdot\vec{a},\]где \(\hat M\) - матрица направляющих косинусов.

Опр.: Матрицей направляющих косинусов (или матрицей поворота) будем называть матрицу вида:\[\hat M = \begin{pmatrix} \cos{\varphi}& -\sin{\varphi}\\ \sin{\varphi}& \cos{\varphi} \end{pmatrix},\]где \(\varphi\) - угол поворота вектора.

Поговорим немного о матрицах:

При решении задач по физике зачастую становится необходимым прибегнуть к математическому объекту, именуемому матрицей.

Опр.: Матрицей \(\hat M_{m\times n}\) называют таблицу чисел, в которой \(m\) строк и \(n\) столбцов.

Матрицы записывают в виде:\[\hat M = \begin{pmatrix} m_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22} \end{pmatrix},\]числа \(m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}\) называют элементами матрицы.

Простейшие операции над матрицами:

• сложение матриц: при сложении двух матриц элементы итоговой матрицы равны сумме соответствующих элементов:\[\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22} \end{pmatrix};\]
• умножение на константу: при умножении матрицы на константу умножается каждый элемент матрицы:\[\alpha\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a_{11}& \alpha a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22} \end{pmatrix};\]
• умножение матриц: для матриц \(\hat A_{m\times n}\) и \(\hat B_{n\times k}\) (количество столбцов матрицы \(\hat A\) должно быть равно количеству строк матрицы \(\hat B\)) определена операция умножения:\[\hat A\hat B = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} = \hat C_{m\times k}.\]

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Для квадратных матриц \(\hat A\) и \(\hat B\) определены операции \(\hat A\hat B\) и \(\hat B\hat A\), причём умножение квадратных матриц не коммутативно, т. е. \(\hat A\hat B \neq\hat B\hat A\).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_2\): Вектор-столбец - пример матрицы \(\hat M_{n\times 1}\), где \(n\) - размерность пространства (количество компонент вектора). Так как вектор-столбец является матрицей, к нему применимы все свойства матриц, в том числе и умножение.

Вернёмся к матрице поворота.

Умножим матрицу поворота на вектор \(\vec{a}\). Запишем получившийся вектор:\[\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x\cos{\varphi} - a_y\sin{\varphi}\\ a_x\sin{\varphi} + a_y\cos{\varphi} \end{pmatrix}.\]Таким образом, при помощи матрицы направляющих косинусов мы получили координаты вектора \(\vec{b}\), полученного поворотом вектора \(\vec{a}\) на угол \(\varphi\).

Рассмотрим пример:

Рис. 2: Пример.

Пусть

\[\vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix},\quad\varphi=\frac{\pi}{4}.\]Найдём соответствующий вектор \(\vec{b}\):

\[\vec{b} = \begin{pmatrix} a_x\cos{\varphi} - a_y\sin{\varphi}\\ a_x\sin{\varphi} + a_y\cos{\varphi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos{\dfrac{\pi}{4}}\\ 2\sin{\dfrac{\pi}{4}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ \sqrt{2} \end{pmatrix}.\]При повороте длина осталась неизменной: \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\).

В трехмерном пространстве мы можем рассмотреть любой поворот вектора в качестве комбинации поворотов вектора относительно трех осей. 

Запишем матрицы поворота:

•  относительно оси \(x\):\[\hat M_x(\varphi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix};\]

• относительно оси \(y\):\[\hat M_y(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & 0 & \sin \varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \varphi & 0 & \cos \varphi \end{pmatrix};\]

• относительно оси \(z\):\[\hat M_z(\varphi ) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Матрица произвольного поворота вектора в трёхмерном пространстве записывается в виде произведения соответствующих матриц:\[\hat M_x(\alpha)\cdot\hat M_y (\beta)\cdot\hat M_z(\gamma) = \begin{pmatrix} \cos \beta \cos \gamma & -\sin \gamma \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \sin \gamma - \sin \beta \cos \alpha \cos \gamma & \sin \alpha \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha & \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}.\]\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Так как матрица произвольного поворота описывается произведением квадратных матриц, операция комбинации поворотов вектора относительно различных осей не коммутативна!

В физике большой интерес привлекают различные комбинации производных и их связи с другими величинами.

Опр: Уравнения, содержащие в себе производную, называют дифференциальными уравнениями.

В механике наиболее часто встречаемыми дифференциальными уравнениями являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Опр.: Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называют соотношения вида\[F(x, y(x),y^{(1)}(x),...,y^{(n)}(x)) = 0,\]где \(x\) - аргумент, \(y(x)\) - функция данного аргумента и \(y^{(k)}(x)\) - \(k\)-тая производная функции \(y(x),k = 1,...,n\).

Опр.: Решением ОДУ называют такую функцию \(y_0(x)\), что \[F(x, y_0(x),y_0^{(1)}(x),...,y_0^{(n)}(x)) \equiv 0.\]

Опр.: Совокупность начальных условий и дифференциального уравнения называют задачей Коши.

Пример 1: \[y' + \alpha y = 0\]

Данное уравнение является линейным (любая линейная комбинация решений уравнения тоже будет являться решением), однородным (в уравнении нет слагаемых, не зависящих от \(y\)), уравнением первого порядка (в уравнении встречается только первая производная) с постоянными коэффициентами.

Решения данного уравнения ищутся в виде \(y = Ce^{\lambda x}, C\neq0\). При подстановке получим:\[C\cdot\lambda e^{\lambda x} + \alpha C\cdot e^{\lambda x} = 0;\\ C(\lambda + \alpha) = 0 \Rightarrow \lambda = -\alpha.\]Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид:\[y = Ce^{-\alpha x}.\]В силу неопределенности константы \(C\) уравнение будет иметь бесконечное множество решений. Нахождение конкретного значения \(C\) становится возможным при наличии некоторого условия для дифференциального уравнения, например, при наличии начальных условий. Пусть \(y(0) = 1\), тогда:\[y(0) = Ce^{-\alpha\cdot0} = 1​ \Rightarrow C = 1.\]Таким образом, при наличии начального условия \(y(0) = 1\) решение уравнения принимает вид:\[y(x) = e^{-\alpha x}.\]

Пример 2:

Видоизменим уравнение из предыдущего примера, в правой части поставив переменную \(x\).\[y' + \alpha y = x.\]В этом уравнении есть слагаемое, не зависящее от \(y\), следовательно, такое уравнение мы будем называть неоднородным.

Теория решения дифференциальных уравнений говорит нам о том, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Общее решение однородного уравнения мы нашли в предыдущем примере:\[y = Ce^{-\alpha x}.\]Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде полинома \(y_{\text{ч.р.}}=ax+b\). Подставим данный полином в уравнение:\[a + \alpha(ax+b) = x,\]\[(a+\alpha b) + \alpha ax = x.\]Последнее равенство следует воспринимать как равенство двух полиномов: два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях \(x\). Таким образом:\[\begin{cases} \alpha a = 1,\\ a+\alpha b = 0, \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{\alpha},\\ b = -\frac{1}{\alpha^2}. \end{cases}\]Частное решение неоднородного уравнения примет вид:\[y_{\text{ч.р.}} = \frac{x}{\alpha} - \frac{1}{\alpha^2}.\]Подстановкой данного выражения в неоднородное уравнение можно убедиться, что выражение действительно является решением.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:\[y_{\text{о.р.н.д.у.}} = Ce^{-\alpha x} + \frac{x}{\alpha} - \frac{1}{\alpha^2}.\]

Физики часто имеют дело с полями. Причём поле может быть как векторным, так и скалярным. Рассмотрим пример последнего.

Представим область пространства с некоторыми точками. Каждой точке можно сопоставить некоторый скаляр, в трёхмерном пространстве это можно записать как \(A(x,y,z)\rightarrow\varphi (A)\). В этом случае говорят, что \(\varphi\) образует скалярное поле.

С понятием скалярного поля тесно связано понятие уровня - если приравнять к некоторой константе \(\varphi(A)=\varphi(x,y,z)=C\), тогда получим поверхность уровня - множество точек (многообразие), удовлетворяющее уравнению, на котором скалярное поле будет сохранять постоянное значение.

В качестве примера:
Рассмотрим потенциальную энергию в поле силы тяготения: \(U(z)=mgz\). Поверхностями уровня будут являться горизонтальные плоскости, перпендикулярные оси \(z\).

Возникает вопрос: как определить направление наискорейшего роста данного скалярного поля?

Рассмотрим другой пример:

Поверхности уровня некоторого скалярного поля задаются уравнением \(\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=C\). Они представляют из себя сферы с радиусом \(\sqrt{C}\). 

Рис. 1. Пример поверхности уровня скалярного поля.

Если рассмотреть поле в точках, направленных по касательной к какой-либо выбранной на сфере точке, оно будет меняться слабо (при малых смещениях). С другой стороны, если хотим поменять скалярное поле на максимальную величину, очевидно, что следует выбрать перпендикулярное направление. Причём интуитивно кажется, что это направление должно лежать вдоль прямой из данной точки через начало координат.

Для строгого математического описания направления наискорейшего роста скалярного поля вводится такой объект, называемый градиентом:\[\nabla\varphi\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\begin{pmatrix} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\rule{0in}{.26in}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\rule{0in}{.26in} \end{pmatrix}.\]

Градиент определен как вектор-столбец частных производных функции (скалярного поля) по каждой координате пространства. Частные производные определяются как производные при фиксировании всех координат, кроме рассматриваемой:\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\frac{d\varphi}{dx}\bigg\vert_{y=const,\ z=const}\underset{dy=0,\ dz=0}{=\!=\!=\!=}\frac{d\varphi}{dx}.\]

В нашем случае \(\nabla\varphi = \begin{pmatrix}2x&2y&2z\end{pmatrix}^T\), то есть в \(A(0,0,1): \nabla\varphi = \begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}^T,\) и вектор смотрит строго по направлению оси \(z.\)

Разберемся с кривыми второго порядка на плоскости.

Чтобы задать кривую данного вида, необходимо ввести следующую квадратичную форму:

\[\Phi = a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2 + a_1x + a_2y + a_0.\]

Кривая второго порядка будет задаваться соотношением:\[\Phi(x,y) = 0.\] Данные квадратичные формы и соответствующие кривые обширно изучаются в курсе аналитической геометрии, однако нас в большей степени будут интересовать частные случаи.

Примеры кривых второго порядка:

1) Эллипс.

Эллипс - кривая второго порядка, задающаяся соотношением:\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\]где \(a\) и \(b\) - большая и малая полуоси соответственно. Уравнение эллипса задает геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек (называемыми фокусами эллипса) есть величина постоянная.

Рис.1: Эллипс, \(a\) и \(b\) - его большая и малая полуоси, \(F_1\) и \(F_2\) - фокусы эллипса.

Выберем на эллипсе случайную точку \(C\). Тогда вне зависимости от её местоположения на кривой:\[|F_1C|+|F_2C| = \mathrm{const} = 2a.\]

2. Гипербола.

Гипербола - кривая второго порядка, задающаяся уравнением:

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.\]Чтобы понять, как выглядит гипербола, получим выражение для одной её ветки. Выразим из данного уравнения \(y\): \[y = \pm b\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2} - 1}.\]При больших \(x\) можем пренебречь единицей под корнем:\[y \approx \pm\dfrac{b}{a}x.\]

Прямые \(y = \dfrac{b}{a}x\) и \(y = -\dfrac{b}{a}x\) для гиперболы будут являться асимптотами, т.е. кривая будет бесконечно приближаться к ним, но никогда не пересечет её.

Рис. 2: Гипербола, \(F_1\) и \(F_2\) - фокусы гиперболы.

Уравнение гиперболы задаёт геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний от двух заданных точек (называемыми фокусами гиперболы) есть величина постоянная, т.е. для любой точки \(C\) на кривой: \[|F_1C|=|F_2C|=\mathrm{const}.\]3. Парабола.

Парабола - кривая второго порядка, задающаяся уравнением: \[y^2 = 2px.\]Данное уравнение является каноническим для кривой данного типа. От привычной нам параболы данная отличается тем, что её ветви смотрят вбок. 

Рис. 3: Парабола, \(F\) - фокус.

Уравнение параболы задаёт геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой заданной точки (называемой фокусом параболы) равно расстоянию до некоторой прямой. Данная прямая называется директрисой параболы.

В курсе общей физики мы будем сталкиваться с вычислениями, которые заметно упростятся, если мы будем пользоваться комплексными числами.

Опр.: Мнимой единицей называют число \(i\) такое, что при возведении в квадрат оно даст \(-1\):\[i^2 = -1.\]Опр.: Комплексными числами называют числа вида\[z = a + ib,\]где \(a\) и \(b\) – действительные числа, а \(i\) – мнимая единица.

Стоит понимать, что комплексные числа – новый математический объект, который принципиально отличается от уже известных нам действительных чисел, и потому, на первый взгляд, может показаться немного странным. Со школы мы помним, что нельзя подобрать такое число на числовой прямой, которое бы при возведении в квадрат дало \(-1\). Для решения данной проблемы введём ещё одну числовую ось, перпендикулярную к уже имеющейся. Получим математический объект, называемый комплексной плоскостью.

Рис. 1: Комплексная плоскость.

Ось абсцисс будем называть осью действительных чисел, ось ординат – осью мнимых чисел. На оси действительных чисел единичной длиной будем считать действительную единицу, на мнимой – мнимую единицу \(i\). Тогда, приняв действительную часть \(a\) числа \(z\) за координату вдоль действительной оси и мнимую часть \(b\) за координату вдоль мнимой оси, мы можем изобразить комплексное число в виде точки на комплексной плоскости.

Вид записи комплексного числа через координаты декартовой системы координат называется алгебраической формой записи комплексного числа. Вместо прямоугольной системы координат мы можем ввести полярную систему. Тогда точка на комплексной плоскости будет характеризоваться двумя числами – радиусом \(\rho\) и углом \(\varphi\), называемым аргументом комплексного числа. Стоит отметить, что аргумент комплексного числа определён с точностью до поворота на \(2\pi k\), где \(k\) – целое число, т.к. повернув вектор на \(2\pi k\) мы попадём в ту же точку на плоскости. Запишем, как выражаются одни координаты через другие:\[\begin{cases} \rho = \sqrt{a^2+b^2},\\ \varphi = \arctan\dfrac{b}{a}, \end{cases} \quad \begin{cases} a = \rho\cos\varphi,\\ b = \rho\sin\varphi. \end{cases}\]Через новые координаты комплексное число можно записать следующим образом:\[z = \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi).\]Данный способ записи комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

В математике существует комплексное тождество, именуемое формулой Эйлера:\[e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi.\]Применяя данную формулу к тригонометрической форме записи комплексного числа, получим:\[z = \rho e^{i\varphi}.\]Данный способ записи комплексного числа называется экспоненциальной формой комплексного числа.

Чаще комплексное число полезнее и продуктивнее воспринимать не как точку, а как радиус-вектор, проведенный к данной точке. Тогда действительная и мнимая части комплексного числа будут координатами \(x\) и \(y\) данного вектора, радиус \(\rho\) – длиной вектора, а угол \(\varphi\) – углом между осью вещественных чисел и вектором.

Большое количество различных способов записи комплексных чисел позволяет использовать свойства данных чисел наиболее удобным образом. Основные операции с комплексными числами:

1. Взятие вещественной и мнимой части - обозначается как \(\mathrm{Re}\;z\) и \(\mathrm{Im}\;z\):\[z = a+ib \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Re}\;z = a,\quad \mathrm{Im}\;z = b.\]Воспользовавшись формулой Эйлера, получим:\[\cos\varphi = \mathrm{Re}\;e^{i\varphi}, \quad \sin\varphi = \mathrm{Im}\;e^{i\varphi};\]
2. Сложение чисел - действительная и мнимая части чисел независимо складываются между собой:\[(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d).\]В векторном представлении комплексные числа складываются как обычные векторы:\[\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + c\\ b + d \end{pmatrix};\]
3. Домножение на константу - аналогично домножению вектора на константу:\[\alpha\cdot(a+ib) = \alpha a + i\alpha b;\]
4. Перемножение комплексных чисел:\[(a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc - bd = (ac - bd) + i(ad + bc).\]Данную операцию значительно удобнее выполнять в экспоненциальной форме записи комплексных чисел:\[\rho_1e^{i\varphi_1}\cdot\rho_2e^{i\varphi_2} = \rho_1\rho_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\]т. е. длины векторов перемножаются, а аргументы складываются;
    
5. Возведение в степень - для числа в экспоненциальной форме:\[z^n = \rho^n e^{in\varphi},\]для числа в тригонометрической форме применяется формула Муавра:\[z^n = \rho^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi));\]
6. Взятие корня \(n\)-ной степени - так как аргумент комплексного числа определен с точностью до поворота на \(2\pi k\), где \(k\) - целое число, операция взятия корня \(n\)-ной степени выглядит следующим образом:\[z^{\frac{1}{n}}= \rho^{\frac{1}{n}} e^{i(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n})},\]в тригонометрической форме записи:\[z^{\frac{1}{n}} = \rho^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi k}{n}\right)\right);\]
7. Комплексное сопряжение - комплексное число, которое отличается от числа \(z\) только знаком мнимой части, называется комплексно-сопряжённым к числу \(z\) и обозначается чертой над числом:\[z = a+ib \quad\Longrightarrow\quad \bar{z} = a-ib,\\ z = \rho e^{i\varphi} \quad\Longrightarrow\quad \bar{z} = \rho e^{-i\varphi}.\]На плоскости комплексно-сопряженное число - отражённая относительно оси абсцисс точка, т. к. действительная часть остаётся прежней, а мнимая меняется на противоположную. Также можно заметить, что произведение числа \(z\) на его комплексно-сопряжённое даст квадрат длины вектора:\[z\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + iab - iab + b^2 = a^2 + b^2,\\ z\bar{z} = \rho e^{i\varphi}\cdot\rho e^{-i\varphi} = \rho^2.\]

8. Стоит также отметить, что взятие производной от комплекснозначной функции не отличается от взятия производной вещественной функции - с мнимой единицей при дифференцировании следует обращаться как с обычной константой.

С помощью данных операций получим некоторые интересные результаты. Возьмём точку с координатами \((1,0)\). Данная точка соответствует вещественной единице. Умножим её на мнимую единицу, получим точку \((0,i)\), что соответствует мнимой единице. Умножив ее на \(i\) ещё раз, т. е. возведя в квадрат, получим \((-1,0)\), что соответствует вещественной \(-1\). Можно заметить, что умножение числа на мнимую единицу поворачивает комплексный вектор на \(\pi/2\).

Рис. 2: Поворот вектора при домножении на \(i\).

Данный факт легко пронаблюдать, если записать произведение в экспоненциальной форме:\[i = e^{i\frac{\pi}{2}} \quad\Longrightarrow\quad z\cdot i = \rho e^{i(\varphi+\frac{\pi}{2})}.\]Заметим, что действительную и мнимую часть можно записать следующим образом:\[\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}, \quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.\]Подставив \(z = e^{i\varphi}\) и воспользовавшись формулой Эйлера, получим выражения для функций косинуса и синуса:\[\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}},\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}.\]