Учебные материалы по разделу

Кинематика занимается описанием движения. В отличие от динамики, она не интересуется причинами возникновения такого движения.

Для описания движения необходимо знать положение материальной точки, что, в свою очередь, требует введения какой-либо системы координат. Для определения положения точки можно использовать радиус вектор \(\vec{r}(t)=(x\ y\ z)\), который, в свою очередь, можно параметризовать длиной пути \(\vec{r}(s)\), поскольку при известной траектории длина пройденного точкой пути однозначно определяет её положение.

Рис. 1: Движение материальной точки по некоторой траектории.

Следующая важная кинематическая характеристика - скорость:\[\vec{\upsilon}\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\frac{d\vec{r}}{dt}\equiv\dot{\vec{r}}(t)=(\dot{x}\ \dot{y}\ \dot{z})=\vec{e_x}\upsilon_x+\vec{e_y}\upsilon_y+\vec{e_z}\upsilon_z.\]Напомним, что в рамках классической механики пространство является абсолютным, то есть рассматривается трехмерное евклидово пространство.

Быстрота изменения скорости, в свою очередь, характеризуется ускорением:\[\vec{a}\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\frac{d\vec{\upsilon}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(\ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z}).\]Среднее значение вектора скорости выражается как\[\langle\vec{\upsilon}\rangle=\frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}.\]В качестве яркого примера можно привести материальную точку, движущуюся по окружности. Среднее значение вектора её скорости за полный период равно нулю, потому как радиус-векторы в начальный и конечный моменты времени совпадут. В то же время, средняя скорость, очевидно, нулю не равна:\[\langle\upsilon\rangle=\frac{s_\text{весь}}{t_\text{всё}}.\]

Известно, что движение может быть не только прямолинейным, но и криволинейным.

Кривую записывают следующим образом: \(\vec{\gamma}(s)\), где \(s\) — длина пути, пройденного точкой. В нашем случае \(\vec{\gamma}(s)=\vec{r}(s).\)

Рис. 1: Траектория криволинейного движения.

Мера кривизны траектории характеризуется соответствующим понятием - кривизной \(K\), в нашем случае:\[K=\left|\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right|,\]\[\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{\vec{\upsilon} dt}{ds}=\frac{\vec{\upsilon}}{\langle\upsilon\rangle}=\vec{\tau},\]\[\Rightarrow K=\left|\frac{d\vec{\tau}}{ds}\right|,\]где \(\vec{\tau}\) - вектор касательной, который имеет единичную длину и может менять только своё направление. Чем больше он меняет своё направление, тем больше кривизна траектории, например у прямой кривизна равна нулю, поскольку вектор касательной постоянен.

С понятием кривизны также связано понятие радиуса кривизны. Можно считать, что касательные вектора \(\vec{\tau}(t)\) и \(\vec{\tau}(t+dt)\)разделены дифференциально малой длиной дуги \(ds\) (само собой, когда \(dt\) достаточно мало). В таком случае, можно опустить перпендикуляры к касательным векторам и считать дугу \(ds\) дугой окружности с радиусом \(R\) (см. Рис. 2):\[ds=Rd\varphi,\]где \(d\varphi\) — центральный угол дуги.

Рис. 2: Изменение касательного вектора \(\vec{\tau}\) за \(dt\).

Рис. 3: Изменение касательного вектора \(\vec{\tau}\) за \(dt\), вектор \(d\vec{\tau}=\vec{\tau}(t+dt)-\vec{\tau}(t)\).

На самом деле, угол между векторами тоже равен \(d\varphi\), и вектор \(d\vec{\tau}=\vec{\tau}(t+dt)-\vec{\tau}(t)\) (см. Рис. 3), который сонаправлен с вектором нормали \(\vec{n}\), равен\[d\vec{\tau}=\vec{n}d\varphi,\]\[K=\left|\frac{d\vec{\tau}}{ds}\right|=\left|\frac{\vec{n}d\varphi}{ds}\right|=\frac{d\varphi}{ds}=\frac{1}{R},\]так, радиус кривизны \(R\) является величиной, обратной кривизне \(K\).

Получив общее выражение для радиуса кривизны, получим теперь формулу для двумерного движения в декартовой системе координат, где траектория представлена в виде \(y=f(x)\) (см. Рис. 4).

Рис. 4: Функциональная зависимость \(y=f(x)\).

С одной стороны, \[R=\frac{ds}{d\varphi}.\]С другой стороны,\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},\]\[d\varphi=d\alpha,\quad \tg\alpha=\frac{dy}{dx}.\]Так, можно получить\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\tg\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\frac{d\alpha}{dx}=\frac{d\alpha}{dx}(1+\tg^2x)=\frac{d\alpha}{dx}\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)\]\[\Rightarrow d\alpha=dx\cdot\frac{d^2y}{dx^2}\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)^{-1}\]\[\Rightarrow R=\dfrac{\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)^{3/2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}.\]

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории. 

Рис. 1: Криволинейное движение.

Введём касательный к траектории движения вектор \(\vec\tau\) и перпендикулярный ему вектор \(\vec n\). Выражение для скорости:\[\vec\upsilon = \upsilon\vec\tau.\]Найдём ускорение точки \(\vec w\):\[\vec w = \dfrac{d\vec\upsilon}{dt} = \dot\upsilon\vec\tau + \upsilon\dot{\vec\tau}.\]Проекция ускорения на вектор \(\vec\tau\) называют тангенциальным ускорением \(a_\tau\). Данная величина показывает изменение скорости вдоль траектории движения точки. За изменение направления движения отвечает проекция ускорения на вектор \(\vec n\), называемая нормальным ускорением \(a_n\).

Для нахождения нормального ускорения распишем по примеру прошлого параграфа производную вектора \(\vec\tau\):\[\dot{\vec\tau} = \dfrac{d\vec\tau}{dt} = \dfrac{\vec nd\varphi}{dt} = \dfrac{\vec n}{R}\dfrac{dS}{dt} = \dfrac{\upsilon}{R}\vec n,\]где \(R\) - радиус кривизны траектории. Подставив в формулу для \(\vec w\), получим:\[\vec w = \dot\upsilon\vec\tau + \dfrac{\upsilon^2}{R}\vec n = a_\tau\vec\tau + a_n\vec n.\]