Учебные материалы по разделу

Основные понятия динамики. Сила

До этого мы с вами занимались кинематикой; в рамках кинематики пытаются понять, как описать движение того или иного тела. Вопросами о том, как возникает движение тела, занимается динамика.

Опр.: Динамика — раздел механики, который изучает причины возникновения или изменения характера движения.

Давайте познакомимся с основными понятиями динамики.

Опр.: Сила — количественная мера воздействия на данное тело со стороны других тел или полей.

Если на тело действует сила \(\overrightarrow{F}\), то с точки зрения математического аппарата классической механики мы должны провести от данного тела вектор в направлении действия силы. Точка, от которой будет откладываться сила, называется точкой приложения силы. Что касается единиц измерения, то в международной системе СИ для силы используются Ньютоны (в системе СГС - дины).

Рис. 1: Сила, действующая на тело.

Согласно современным представлениям, любое взаимодействие между телами осуществляется через так называемые переносчики взаимодействия. Такая концепция называется концепцией близкодействия. Для того, чтобы одно тело провзаимодействовало с другим, необходимо чтобы оно испустило материальный источник взаимодействия, а другое тело его поглотило (или наоборот). Такие переносчики взаимодействия движутся с конечными скоростями.

Противоположное данной концепции учение является устаревшим; это концепция дальнодействия, согласно которой взаимодействие между телами осуществляется мгновенным образом через пустоту без каких-либо переносчиков. Именно такой точки зрения и придерживаются в классической механике.

Также, на первый взгляд может показаться, что в физике присутствует большое количество сил. Мы помним про силу упругости, про силу реакции опоры, силу тяжести, силу трения и т.д. Однако все эти силы могут быть приписаны к одному из типов так называемых фундаментальных взаимодействий.

Существует 4 типа фундаментальных взаимодействий:

• гравитационное;
• слабое;
• электромагнитное;
• сильное.

В рамках классической механики имеют дело с силами, которые имеют только гравитационную или электромагнитную природу. Сильные и слабые взаимодействия начинают фигурировать только когда мы заходим в масштабы атомного ядра.

Гравитационное взаимодействие является наименее изученным из типов фундаментальных взаимодействий. Считается (хотя не доказано) что переносчиком гравитационного взаимодействия является гравитон — гипотетическая частица, которая (как предполагается) движется со скоростью света. Современная теория гравитации описывается общей теорией относительности Эйнштейна, которая была им сформулирована в 1915 году. Эта теория не квантовая; до сих пор гравитацию не удалось нормально проквантовать. Поэтому мы довольствуемся достаточно эффективной, но не квантовой общей теорией относительности.

В рамках же классической механики, для того чтобы описать гравитационное взаимодействие используют закон всемирного тяготения, который был сформулирован Исааком Ньютоном в 1666 году.

Закон всемирного тяготения: материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модули которых пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:\[\overrightarrow{F}=G \frac{M_1M_2}{r^2} \frac{\vec{r}}{r},\]

где \(G=6.673 \cdot10^{-11}\ Н \cdot м^2/кг^2\) — гравитационная постоянная.

Электромагнитное взаимодействие в рамках классической физики описывается законом Кулона, который имеет абсолютно такую же структуру, как закон всемирного тяготения. Закон Кулона был сформулирован Шарлем Кулоном в 1785 году.

Закон Кулона: заряды взаимодействуют друг с другом с силой, модуль которой пропорционален произведению величин этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:\[\overrightarrow{F}=k \frac{q_1q_2}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}.\]В случае гравитационного взаимодействия тел, имеющие массу, всегда притягиваются; в случае зарядов если оба заряда имеют одинаковый знак, то будет наблюдаться отталкивание.

С точки зрения современной физики электромагнитное взаимодействие описывается квантовой электродинамикой, самой эффективной и доказанной квантовой теорией поля. Основоположниками квантовой электродинамики можно назвать таких учёных как Фейнман, Швингер, Томонага. Данная теория была сформулирована в середине XX века. 

Однако, чтобы описать эти типы взаимодействия в рамках классической физики, нам достаточно прибегнуть либо к закону Кулона, либо к закону всемирного тяготения Ньютона. 

Все силы в рамках классической механики имеют либо электромагнитную, либо гравитационную природу.

Законы Ньютона

Разобравшись с тем, как тела будут двигаться, когда внешние силы отсутствуют, необходимо теперь ответить на вопрос: как они будут двигаться под действием внешних сил? Для этого нужно сформулировать второй закон Ньютона. Но прежде чем мы дадим формулировку, опять выполним ряд мысленных экспериментов.

Предположим, мы двигаемся вдоль прямой с тележкой. Мы хотим её затормозить; чтобы её затормозить, нужно приложить какую-то силу (под торможением мы будем подразумевать, что мы меняем скорость этой тележки от конечной до нулевой). И, чисто из нашего житейского опыта, мы понимаем, что сила будет пропорциональна изменению скорости (если тележка изначально двигалась с большой скоростью, то нам необходимо прикладывать большую силу, чем если бы тележка двигалась с очень маленькой начальной скоростью). Мы понимаем, что силу нужно прикладывать большую, чем больше масса тележки. Также важным фактором будет то, за какой промежуток времени мы хотим совершить торможение. Представьте, что вас попросили затормозить очень тяжёлую тележку ,например, от 2 м/с до 0 м/с за 20 с. А представьте, что вас попросили это сделать за полсекунды; значит, потребуется приложить большую силу, чтобы достигнуть того же эффекта. Таким образом, чем меньше времени дано, чтобы достигнуть этого эффекта, тем большую силу нам нужно прикладывать. Тогда:\[F\sim \frac{m \Delta \upsilon}{\Delta t}.\]Выбором системы единиц знак пропорциональности всегда можно заменить на равенство; так и было сделано в системе СИ, где были подобраны Ньютоны, килограммы, метры и секунды: \[F\approx \frac{m \Delta \upsilon}{\Delta t}.\] Почему здесь стоит приближённое равенство? Потому что сама \(F\) может являться функцией времени, она может быть переменной, и не очень понятно, в какой из моментов времени в рамках промежутка \(\Delta t\) надо выбирать значение этой силы. Для этого необходимо (что и было сделано собственно Ньютоном) перейти к бесконечно малым величинам и векторным величинам: \[\overrightarrow{F}=m\frac{d\vec{\upsilon}}{dt}.\]Когда мы тормозим тележку знак \(d{\upsilon}\) будет отрицательным, значит направление скорости и направление силы будут противоположными; если мы тормозим тележку, значит сила должна быть направлена против её движения. С другой стороны, если мы разгоняем тележку, то сила должна быть сонаправлена со скоростью.

На самом деле под \(\overrightarrow{F}\) понимается некая суперпозиция всех действующих сил:\[\overrightarrow{F}=\sum _{i=1}^M\overrightarrow{F_i}.\]Таким образом, запишем основной закон классической механики — второй закон Ньютона:\[m\frac{d\vec\upsilon}{dt}=\sum _{i=1}^M\overrightarrow{F_i},\]или через ускорение:\[m\vec{a}=\overrightarrow{F}.\]На этом этапе можно ввести важное понятие — понятие импульса. Импульс равен произведению массы тела на скорость тела:\[\vec{p}=m\vec{\upsilon}.\]Нетрудно понять, считая массу неизменной величиной, что:\[\frac{d\vec{p}}{dt}=\overrightarrow{F}.\]Преимущество данной записи в том, что она справедлива не только в случае классической механики, но и в случае релятивистской механики, где под \(\vec{p}\) будет пониматься релятивистский импульс.

Законы Ньютона

Давайте разберёмся с последним, третьим законом Ньютона, и начнём с его формулировки.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по абсолютной величине, противоположны по направлению, и действуют вдоль прямой, соединяющей эти два тела. 

Так, можно записать \(\left|\overrightarrow{F}_{12}\right|=\left|\overrightarrow{F}_{21}\right|\) (см. Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация выполнения третьего закон Ньютона

Мы сразу начали с формулировки самого закона, однако чтобы лучше понять, как пользоваться законом на практике, давайте рассмотрим какой-нибудь мысленный эксперимент.

Давайте снова обратимся к бруску и к столу (см. Рис. 2). На брусок на столе действует сила тяжести со стороны Земли связанная с земным тяготением. По второму закону Ньютона, если на тело действует какая-либо сила, оно должно совершать какое-то движение; однако тело покоится. Почему? Потому что на тело со стороны стола действует сила реакции опоры \(\overrightarrow{N}\), которая направлена перпендикулярно опоре, откладывается от точки соприкосновения бруска со столом, и по абсолютной величине (чтобы брусок находился в покое) совпадает с абсолютным значением силы тяжести. Но по третьему закону Ньютона мы понимаем: если со стороны стола на брусок действует сила реакции опоры \(\overrightarrow{N}\), значит и брусок должен действовать на стол с какой-то силой. Эта сила называется весом, она противоположно направлена силе реакции опоры. Не путайте её с силой тяжести, иногда они могут смотреть в разных направлениях (если плоскость, на которой находится тело, наклонена под углом к горизонту). Вес обозначается \(\overrightarrow{P}\), и это как раз та самая сила, которая является следствием третьего закона Ньютона (см. Рис. 2).

Рис. 2. Силы, действующие на брусок, лежащий на столе, и его вес \(\overrightarrow{P}\).

\[|\overrightarrow{N}|=|m\vec{g}|=|\overrightarrow{P}|.\]Участок равенства с \(|m\vec{g}|\) справедлив только для горизонтальной плоскости.

Познакомившись с основными кинематическими характеристиками материальной точки, а также получив представление об исключительном характере инерциальных систем отсчета, может возникнуть вопрос: как будут преобразовываться координата, скорость, ускорение при переходе от одной системе отсчёта к другой. На этот вопрос могут дать ответ преобразования Галилея. Давайте запишем их, и посмотрим, к каким выводам получится прийти.

Итак, рассмотрим две системы отсчета, одна из которых покоится, такую систему мы будем называть системой \(K\), тогда как систему, движущуюся с постоянной скоростью \(\overrightarrow{V}\) относительно первой (\(V\ll c\), где \(V\) — абсолютное значение вектора \(\overrightarrow{V}\), а \(c\) - скорость света), мы будем обозначать \(K'\).

Рис. 1: Системы отсчёта \(K\) и \(K'\).

Запишем выражение для радиус-вектора некоторой точки в этих двух системах отсчёта:\[\vec{r}=\vec{r}'+\overrightarrow{V}\cdot t.\]Продифференцируем это соотношение:\[\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon}'+\overrightarrow{V}.\]Продифференцируем ещё раз:\[\vec{a}=\vec{a}'.\]Домножим обе части на массу:\[\overrightarrow{F}=m\vec{a}=m\vec{a}'.\]Из этого можно сделать вывод, называемый принцип относительности Галилея: все законы механики инвариантны относительно выбора инерциальной системы отсчёта. Это значит, что неважно, в какой из инерциальных систем отсчёта мы будем решать конкретную задачу: они все будут эквивалентны.

Отметим, что принцип относительности Галилея справедлив только лишь в том случае, когда относительные скорости материальных точек или тел много меньше скорости света. В случаях, когда скорости близки к скорости света, начинают сказываться релятивистские эффекты, из-за чего следует применять принцип относительности Эйнштейна: все законы природы инвариантны относительно выбора инерциальной системы отсчёта. 

В динамике рассматриваются два типа задач: прямая и обратная задачи динамики. 

Прямая задача динамики – найти закон движения тела или системы тел, если известны силы, действующие на эти тела (\(\overrightarrow{F}(t)\)), и начальное состояние системы (\(\overrightarrow{V_0}, {\vec{r}_0}\) при \(t=0\)). 

Задача решается при помощи второго закона Ньютона:\[m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=\overrightarrow{F}(t).\]Дважды проинтегрировав это выражение, мы получаем \(\vec{r}\;(\vec r_0,\overrightarrow{V_0},t)\).

Обратная задача динамики – найти действующие на тело или систему тел силы или другие характеристики этой системы, если известны законы движения тел, входящих в систему.

Пусть нам известна координата материальной точки \(\vec{r} (t)=\vec{\rho} (t)\). Дважды продифференцировав радиус вектор и домножив его на массу материальной точки, получим:\[\ddot{\vec{\rho}} (t)m=\overrightarrow{F}(t).\]Гораздо чаще сталкиваются с решением прямых задач динамики, т.к. обратная задача динамики сводится к тривиальному дифференцированию. Далее рассмотрим конкретные примеры решения прямых задач динамики.

В качестве первого примера рассмотрим одномерный случай, когда сила зависит только от времени:\[F=F(t), \:x(t=0)=x_0,\: \upsilon(t=0)=\upsilon_0.\]Запишем второй закон Ньютона:\[m \frac{d\upsilon}{dt}=F(t) \quad\Longrightarrow \quad d\upsilon=\frac{1}{m}F(t)dt.\]Проинтегрируем выражение для \(d\upsilon\):\[\int \limits _{\upsilon_0}^{\upsilon(t)}d\upsilon=\frac{1}{m}\int \limits _{t_0}^{t}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}},\]Отсюда получаем:\[\upsilon=\upsilon_0+\frac{1}{m}\int \limits _{0}^{t}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Т.к. \(\upsilon=\dfrac{dx}{dt}\), то:\[\int \limits _{x_0}^{x(t)}dx=\upsilon_0\int \limits _{0}^{t}d{\widetilde{t}}+\frac{1}{m} \int \limits _{0}^{t}d\widetilde {\widetilde{t}} \int \limits _{0}^{\widetilde {\widetilde{t}}}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Таким образом, мы получаем решение в общем виде:\[x(t)=x_0+\upsilon_0 t+\frac{1}{m} \int \limits _{0}^{t}d\widetilde {\widetilde{t}} \int \limits _{0}^{\widetilde {\widetilde{t}}}F(\widetilde{t})d{\widetilde{t}}.\]Пример:

Пусть мы имеем некую зависимость \(F(t)=\alpha t\). Решением прямой задачи динамики для этого случая будет выражение:\[x(t)=x_0+\upsilon_0t+\frac{\alpha}{m} \frac{t^3}{6}.\]Продифференцировав эту функцию дважды по времени, мы получим исходную зависимость.

Вот таким способом можно решать задачи, когда сила зависит только от времени; для более сложных случаев пользуются численным способом. Перейдем к следующему примеру.

Теперь рассмотрим пример, когда сила зависит только от координаты и проанализируем одномерные случаи:

Рассмотрим последний пример, когда сила зависит от скорости:\[F=F(\upsilon),\; x(0)=x_0,\;\upsilon(0)=\upsilon_0.\]Запишем второй закон Ньютона:\[m \frac{dV}{dt}=F(\upsilon) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{F(\upsilon)}=\frac{dt}{m}.\]Проинтегрируем это выражение:\[\int\limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(V)}=\int \limits_0^t\frac{d \widetilde{t}}{m},\]\[t=m \int \limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(\upsilon)}.\]Пусть \(F(\upsilon)=-\alpha \upsilon\), \(\alpha>0\)  тогда:\[t=m \int \limits_{V_0}^{V(t)} \frac{dV}{F(\upsilon)}=-\frac{m}{\alpha} \int\limits_{V_0}^{V(t)}\frac{dV}{V}=-\frac{m}{\alpha}\mathrm{ln}|\frac{V(t)}{V_0}|,\]\[V(t)=V_0 \cdot e^{-\frac{\alpha t}{m}}=\frac{dx}{dt},\]\[\int\limits_{x_0}^{x(t)}dx=V_0 \int\limits_{t_0=0}^{t} e^{-\frac{\alpha\widetilde{t}}{m}}d\widetilde{t},\]\[x(t)=x_0+\frac{mV_0}{\alpha}(1-e^{-\frac{\alpha t}{m}}).\]Мы получили закон движения для случая, когда сила зависит от скорости.

Рассмотрим случай, когда силой трения, например, при перекидывании верёвки через блок, нельзя пренебречь.

Рис. 1: Верёвка, перекинутая через блок.

Мы привыкли, что если трения нет (коэффициент трения \(\mu=0\)), то \(T_1/T_2=1\). Давайте решим задачу, чему равно \(T_1/T_2\) в случае, когда \(\mu\neq0\). Для этого рассмотрим дифференциально маленький участок блока.

Рис. 2: Участок верёвки, перекинутой через блок, и действующие на него силы.

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:\[m\vec{a}=\overrightarrow{F}=0.\]Введём оси \(Ox\) и \(Oy\), в проекциях на оси:\[Oy:\quad dN=(T+T+dT)\sin\frac{d\alpha}{2}\approx Td\alpha,\]\[Ox:\quad(T+dT)\cos\alpha=dF_{\text{тр}}+T\cos{\alpha}.\]Отсюда следует:\[dF_{\text{тр}}=dT.\]Согласно закону Кулона для трения:\[dF_{\text{тр}}=\mu dN.\]Объединив два выражения, получим:\[dT=\mu Td\alpha.\]Проинтегрируем это соотношение:\[\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=\mu\alpha_{12}.\]Таким образом, мы получаем финальную формулу для соотношения сил натяжения в присутствии сухого трения на блоке:\[T_2=T_1\cdot e^{\mu\alpha}.\]