Чаще всего в задачах по физике мы не будем использовать первообразную в изначальном ее виде. Вместо неё будет использоваться понятие определённого интеграла.

Опр.: Интегралом от функции \(f(x)\) на промежутке \([a,b]\) называется число, определяемое следующим способом:\[\int\limits_a^bf(x)dx \overset{\mathrm{def}}{=\!=} \lim_{\mu(\Delta x)\to 0}\sum\limits_if(x_i)\Delta x_i,\]где \(\mu(\Delta x)\) - ранг дробления отрезка \([a,b]\), который определим далее.

Рис. 1: Определённый интеграл.

На координатной плоскости изобразим функцию \(f(x)\), на оси \(x\) отметим промежуток \([a,b]\). Разобьём промежуток \([a,b]\) на множество отрезков, которые будем называть \(\Delta x_i\), на каждом из отрезков отметим точку \(x_i\). Попробуем же вычислить \(\sum\limits_if(x_i)\Delta x_i.\)

Начнем рисовать вверх столбики от оси \(x\) до функции \(f(x)\) так, чтобы основанием каждого столбика был отрезок \(\Delta x_i\). Заметим, что верхняя граница этого столбика представляет собой некоторую линию, а \(f(x_i)\) - приблизительная высота столбика. Перемножая \(f(x_i)\Delta x_i\) , получим площадь \(i\)-того столбца.

Данный способ измерения площади столбика не является точным, так как столбец не является прямоугольником. Избавимся от ошибки при помощи предельного перехода.

Опр.: Назовём рангом дробления отрезка \([a,b]\) величину \(\mu(\Delta x)\) такую, что:\[\mu(\Delta x) \overset{\mathrm{def}}{=\!=} \max\limits_i{\Delta x_i},\]т.е. ранг дробления - длина наибольшего из отрезков \(\Delta x_i\), на которые мы разбили изначальный отрезок \([a,b]\).

Что же обозначает данный предельный переход? Устремляя ранг дробления к нулю, мы делаем каждый столбик всё у́же, из-за чего верхняя граница столбика становится все более похожей на горизонтальную прямую, следовательно, уменьшается ошибка вычисления площади столбика. Просуммировав площади всех столбиков, мы получим значение площади фигуры под графиком функции \(f(x)\) на промежутке \([a,b]\), что является одним из смыслов определённого интеграла.

В задачах для подсчета определенного интеграла чаще всего не нужно считать площадь под графиком при помощи суммирования площадей столбцов. На практике для аналитического подсчёта интегралов используют формулу Ньютона-Лейбница:

• если у функции \(f(x)\) есть первообразная, то: \[\int\limits_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).\]