Примеры кривых второго порядка:

1) Эллипс.

Эллипс - кривая второго порядка, задающаяся соотношением:\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\]где \(a\) и \(b\) - большая и малая полуоси соответственно. Уравнение эллипса задает геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек (называемыми фокусами эллипса) есть величина постоянная.

Рис.1: Эллипс, \(a\) и \(b\) - его большая и малая полуоси, \(F_1\) и \(F_2\) - фокусы эллипса.

Выберем на эллипсе случайную точку \(C\). Тогда вне зависимости от её местоположения на кривой:\[|F_1C|+|F_2C| = \mathrm{const} = 2a.\]

2. Гипербола.

Гипербола - кривая второго порядка, задающаяся уравнением:

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.\]Чтобы понять, как выглядит гипербола, получим выражение для одной её ветки. Выразим из данного уравнения \(y\): \[y = \pm b\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2} - 1}.\]При больших \(x\) можем пренебречь единицей под корнем:\[y \approx \pm\dfrac{b}{a}x.\]

Прямые \(y = \dfrac{b}{a}x\) и \(y = -\dfrac{b}{a}x\) для гиперболы будут являться асимптотами, т.е. кривая будет бесконечно приближаться к ним, но никогда не пересечет её.

Рис. 2: Гипербола, \(F_1\) и \(F_2\) - фокусы гиперболы.

Уравнение гиперболы задаёт геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний от двух заданных точек (называемыми фокусами гиперболы) есть величина постоянная, т.е. для любой точки \(C\) на кривой: \[|F_1C|=|F_2C|=\mathrm{const}.\]3. Парабола.

Парабола - кривая второго порядка, задающаяся уравнением: \[y^2 = 2px.\]Данное уравнение является каноническим для кривой данного типа. От привычной нам параболы данная отличается тем, что её ветви смотрят вбок. 

Рис. 3: Парабола, \(F\) - фокус.

Уравнение параболы задаёт геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой заданной точки (называемой фокусом параболы) равно расстоянию до некоторой прямой. Данная прямая называется директрисой параболы.