С понятием кривизны также связано понятие радиуса кривизны. Можно считать, что касательные вектора \(\vec{\tau}(t)\) и \(\vec{\tau}(t+dt)\)разделены дифференциально малой длиной дуги \(ds\) (само собой, когда \(dt\) достаточно мало). В таком случае, можно опустить перпендикуляры к касательным векторам и считать дугу \(ds\) дугой окружности с радиусом \(R\) (см. Рис. 2):\[ds=Rd\varphi,\]где \(d\varphi\) — центральный угол дуги.

Рис. 2: Изменение касательного вектора \(\vec{\tau}\) за \(dt\).

Рис. 3: Изменение касательного вектора \(\vec{\tau}\) за \(dt\), вектор \(d\vec{\tau}=\vec{\tau}(t+dt)-\vec{\tau}(t)\).

На самом деле, угол между векторами тоже равен \(d\varphi\), и вектор \(d\vec{\tau}=\vec{\tau}(t+dt)-\vec{\tau}(t)\) (см. Рис. 3), который сонаправлен с вектором нормали \(\vec{n}\), равен\[d\vec{\tau}=\vec{n}d\varphi,\]\[K=\left|\frac{d\vec{\tau}}{ds}\right|=\left|\frac{\vec{n}d\varphi}{ds}\right|=\frac{d\varphi}{ds}=\frac{1}{R},\]так, радиус кривизны \(R\) является величиной, обратной кривизне \(K\).