Рассмотрим случай, когда силой трения, например, при перекидывании верёвки через блок, нельзя пренебречь.

Рис. 1: Верёвка, перекинутая через блок.

Мы привыкли, что если трения нет (коэффициент трения \(\mu=0\)), то \(T_1/T_2=1\). Давайте решим задачу, чему равно \(T_1/T_2\) в случае, когда \(\mu\neq0\). Для этого рассмотрим дифференциально маленький участок блока.

Рис. 2: Участок верёвки, перекинутой через блок, и действующие на него силы.

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:\[m\vec{a}=\overrightarrow{F}=0.\]Введём оси \(Ox\) и \(Oy\), в проекциях на оси:\[Oy:\quad dN=(T+T+dT)\sin\frac{d\alpha}{2}\approx Td\alpha,\]\[Ox:\quad(T+dT)\cos\alpha=dF_{\text{тр}}+T\cos{\alpha}.\]Отсюда следует:\[dF_{\text{тр}}=dT.\]Согласно закону Кулона для трения:\[dF_{\text{тр}}=\mu dN.\]Объединив два выражения, получим:\[dT=\mu Td\alpha.\]Проинтегрируем это соотношение:\[\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=\mu\alpha_{12}.\]Таким образом, мы получаем финальную формулу для соотношения сил натяжения в присутствии сухого трения на блоке:\[T_2=T_1\cdot e^{\mu\alpha}.\]