Одним из самых важных математических объектов, встречающихся в физике, является вектор.

Опр.: В геометрическом смысле, вектор - направленный отрезок определённой длины.

Разберемся с понятием вектора на конкретном примере. Введём декартову систему координат на плоскости, расположим на координатной плоскости точки \(A\) и \(B\). Соединив две точки, получим отрезок \(AB\), после чего зададим направление для данного отрезка стрелочкой.

Рис. 1: Вектор \(\overrightarrow{AB}\).

Получившийся объект будем называть вектором \(\overrightarrow{AB}\). Характеристикой вектора \(\overrightarrow{AB}\), отличающей его от других векторов, является набор координат. Введем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), соответствующие двум осям: \(AB_x\) и \(AB_y\). Итоговая запись вектора \(\overrightarrow{AB}\) выглядит так:\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} AB_x\\ AB_y \end{pmatrix}.\]\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Во избежание путаницы координат вектора и точек, координаты вектора записываются в столбик (отсюда происходит название - вектор-столбец).

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_2\): Часто в тексте удобнее писать координаты вектора именно в строку, в таких случаях пишут \(\overrightarrow{AB} = (AB_x\quad AB_y)^T\) - транспонированный столбец.

Найдём координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\). Чтобы найти координату \(x\) вектора \(\overrightarrow{AB}\), вычтем из соответствующей координаты конечной точки координату начальной точки: \(AB_x = x_B - x_A\). Для координаты \(y\) вектора проделаем аналогичные действия. Запишем полученный вектор:\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} AB_x\\ AB_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_B - x_A\\ y_B - y_A \end{pmatrix}.\]Опр.: Проекцией вектора \(\overrightarrow{AB}\) на ось \(x\) (или его \(x\)-компонентой) называется его координата \(AB_x\).

При помощи компонент вектора легко найти значение длины вектора (записывается в виде \(\left|\overrightarrow{AB}\right|\)). Заметим, что компоненты вектора и сам вектор образуют прямоугольный треугольник, где компоненты - катеты. Таким образом, для нахождения длины вектора применим теорему Пифагора:\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2}.\]

Пример: Пусть: \(A (2.5, 3)\), \(B (4, 4)\).
Тогда:\[AB_x = 4 - 2.5 = 1.5,\\ AB_y = 4 - 3 = 1,\\ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1.5\\ 1 \end{pmatrix},\\ \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{1.5^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}.\]