Первообразная.

Не менее часто используемой операцией в физике является взятие первообразной и нахождение определенного интеграла.

Опр.: Будем говорить, что \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\), если:\[\dfrac{dF}{dx} = f(x).\]​​​​​​Первообразная \(F(x)\) записывается следующим образом:\[F(x) = \int f(x)dx + \mathrm{const}.\]Стоит отметить, что нахождение первообразной - обратная взятию производной процедура, поэтому некоторые свойства первообразной совпадают со свойствами производной.

Простейшие свойства первообразной:

• аддитивность: \[\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx,\]
• однородность: \[\alpha\int f(x)dx = \int\alpha f(x)dx,\]
• взятие первообразной по частям:\[\int f(x)dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)df(x).\]

Рассмотрим пример:

Пусть \(f(x) = \cos{x}\). Для нахождения первообразной нам необходимо найти такую функцию, которая при дифференцировании давала бы \(\cos{x}\). Несомненно, такую производную имеет функция \(\sin{x}\), однако стоит не забывать об аддитивности первообразной: производная от константы при дифференцировании даёт ноль, \(f(x) = \cos{x} + 0\). Таким образом:\[F(x) = \sin{x} + C,\]где \(C = \mathrm{const}\). Константу \(C\) при нахождении первообразной мы не конкретизируем, чаще всего в реальных задачах она задаётся начальными условиями. В силу неопределённости константы первообразную часто называют неопределённым интегралом.