Физики часто имеют дело с полями. Причём поле может быть как векторным, так и скалярным. Рассмотрим пример последнего.

Представим область пространства с некоторыми точками. Каждой точке можно сопоставить некоторый скаляр, в трёхмерном пространстве это можно записать как \(A(x,y,z)\rightarrow\varphi (A)\). В этом случае говорят, что \(\varphi\) образует скалярное поле.

С понятием скалярного поля тесно связано понятие уровня - если приравнять к некоторой константе \(\varphi(A)=\varphi(x,y,z)=C\), тогда получим поверхность уровня - множество точек (многообразие), удовлетворяющее уравнению, на котором скалярное поле будет сохранять постоянное значение.

В качестве примера:
Рассмотрим потенциальную энергию в поле силы тяготения: \(U(z)=mgz\). Поверхностями уровня будут являться горизонтальные плоскости, перпендикулярные оси \(z\).

Возникает вопрос: как определить направление наискорейшего роста данного скалярного поля?

Рассмотрим другой пример:

Поверхности уровня некоторого скалярного поля задаются уравнением \(\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=C\). Они представляют из себя сферы с радиусом \(\sqrt{C}\). 

Рис. 1. Пример поверхности уровня скалярного поля.

Если рассмотреть поле в точках, направленных по касательной к какой-либо выбранной на сфере точке, оно будет меняться слабо (при малых смещениях). С другой стороны, если хотим поменять скалярное поле на максимальную величину, очевидно, что следует выбрать перпендикулярное направление. Причём интуитивно кажется, что это направление должно лежать вдоль прямой из данной точки через начало координат.

Для строгого математического описания направления наискорейшего роста скалярного поля вводится такой объект, называемый градиентом:\[\nabla\varphi\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\begin{pmatrix} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\rule{0in}{.26in}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\rule{0in}{.26in} \end{pmatrix}.\]

Градиент определен как вектор-столбец частных производных функции (скалярного поля) по каждой координате пространства. Частные производные определяются как производные при фиксировании всех координат, кроме рассматриваемой:\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\frac{d\varphi}{dx}\bigg\vert_{y=const,\ z=const}\underset{dy=0,\ dz=0}{=\!=\!=\!=}\frac{d\varphi}{dx}.\]

В нашем случае \(\nabla\varphi = \begin{pmatrix}2x&2y&2z\end{pmatrix}^T\), то есть в \(A(0,0,1): \nabla\varphi = \begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}^T,\) и вектор смотрит строго по направлению оси \(z.\)