В курсе общей физики мы будем сталкиваться с вычислениями, которые заметно упростятся, если мы будем пользоваться комплексными числами.

Опр.: Мнимой единицей называют число \(i\) такое, что при возведении в квадрат оно даст \(-1\):\[i^2 = -1.\]Опр.: Комплексными числами называют числа вида\[z = a + ib,\]где \(a\) и \(b\) – действительные числа, а \(i\) – мнимая единица.

Стоит понимать, что комплексные числа – новый математический объект, который принципиально отличается от уже известных нам действительных чисел, и потому, на первый взгляд, может показаться немного странным. Со школы мы помним, что нельзя подобрать такое число на числовой прямой, которое бы при возведении в квадрат дало \(-1\). Для решения данной проблемы введём ещё одну числовую ось, перпендикулярную к уже имеющейся. Получим математический объект, называемый комплексной плоскостью.

Рис. 1: Комплексная плоскость.

Ось абсцисс будем называть осью действительных чисел, ось ординат – осью мнимых чисел. На оси действительных чисел единичной длиной будем считать действительную единицу, на мнимой – мнимую единицу \(i\). Тогда, приняв действительную часть \(a\) числа \(z\) за координату вдоль действительной оси и мнимую часть \(b\) за координату вдоль мнимой оси, мы можем изобразить комплексное число в виде точки на комплексной плоскости.

Вид записи комплексного числа через координаты декартовой системы координат называется алгебраической формой записи комплексного числа. Вместо прямоугольной системы координат мы можем ввести полярную систему. Тогда точка на комплексной плоскости будет характеризоваться двумя числами – радиусом \(\rho\) и углом \(\varphi\), называемым аргументом комплексного числа. Стоит отметить, что аргумент комплексного числа определён с точностью до поворота на \(2\pi k\), где \(k\) – целое число, т.к. повернув вектор на \(2\pi k\) мы попадём в ту же точку на плоскости. Запишем, как выражаются одни координаты через другие:\[\begin{cases} \rho = \sqrt{a^2+b^2},\\ \varphi = \arctan\dfrac{b}{a}, \end{cases} \quad \begin{cases} a = \rho\cos\varphi,\\ b = \rho\sin\varphi. \end{cases}\]Через новые координаты комплексное число можно записать следующим образом:\[z = \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi).\]Данный способ записи комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

В математике существует комплексное тождество, именуемое формулой Эйлера:\[e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi.\]Применяя данную формулу к тригонометрической форме записи комплексного числа, получим:\[z = \rho e^{i\varphi}.\]Данный способ записи комплексного числа называется экспоненциальной формой комплексного числа.

Чаще комплексное число полезнее и продуктивнее воспринимать не как точку, а как радиус-вектор, проведенный к данной точке. Тогда действительная и мнимая части комплексного числа будут координатами \(x\) и \(y\) данного вектора, радиус \(\rho\) – длиной вектора, а угол \(\varphi\) – углом между осью вещественных чисел и вектором.