Введём в декартовой системе координат вектор \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix}\). Запишем его в виде линейной комбинации двух векторов вида\(\vec{a} = a_x\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + a_y\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\). Заметим, что при помощи векторов \(\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\) и \(\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\) мы сможем записать в виде линейной комбинации любой вектор на плоскости. Назовем такой набор базисным.

Опр.: Базисным набором называется минимальный набор векторов, через который можно представить любой вектор в пространстве.

\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}\): Приведённый выше базис называют ортонормированным, т. к. \(\vec{e}_x\bot\vec{e}_y\) и \(|\vec{e}_x| = |\vec{e}_y| = 1.\)

В случае трехмерной декартовой системы координат простейший ортонормированный базис приобретает вид:\[\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.\]