Опр.: Векторным произведением вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) называется вектор \(\vec{c}\) :\[\vec{c}=[\vec{a}\times\vec{b}]=\vec{a}\times\vec{b}=[\vec{a},\vec{b}],\]

если его длина \(|c|=|a||b|\cdot \sin{\alpha}\). Вектор \(\vec{c}\) направлен так, чтобы он был перпендикулярен как вектору \(\vec{a}\), так и вектору \(\vec{b}\).

Рис. 2: Векторное произведение.

Для определения направления вектора \(\vec{c}\) можно воспользоваться правилом правой тройки векторов (правилом правого винта): как бы "закручивать" вектор \(\vec{a}\) в сторону вектора \(\vec{b}\).

Если вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются коллинеарными, то \(sin\alpha=0\)  и векторное произведение равно 0 (это удобный критерий коллинеарности векторов).

Более общее определение для векторного произведения будет иметь следующий вид:\[\vec{c}=\det \begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \vec{e_x}(a_yb_z-a_zb_y)-\vec{e_y}(a_xb_z-a_zb_x)+\vec{e_z}(a_xb_y-a_yb_x).\]

Если мы знаем, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в одной плоскости, то \(a_z=0, b_z=0\).

При помощи векторного произведения можно вычислять угол между векторами (когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в одной плоскости):\[\sin{\alpha}=\frac{|a_xb_y-a_yb_x|}{|a||b|}.\]