Поговорим немного о матрицах:
При решении задач по физике зачастую становится необходимым прибегнуть к математическому объекту, именуемому матрицей.
Опр.: Матрицей \(\hat M_{m\times n}\) называют таблицу чисел, в которой \(m\) строк и \(n\) столбцов.
Матрицы записывают в виде:\[\hat M = \begin{pmatrix} m_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22} \end{pmatrix},\]числа \(m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}\) называют элементами матрицы.
Простейшие операции над матрицами:
\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_1\): Для квадратных матриц \(\hat A\) и \(\hat B\) определены операции \(\hat A\hat B\) и \(\hat B\hat A\), причём умножение квадратных матриц не коммутативно, т. е. \(\hat A\hat B \neq\hat B\hat A\).
\(\mathrm{N}\!\!\mathrm{B}_2\): Вектор-столбец - пример матрицы \(\hat M_{n\times 1}\), где \(n\) - размерность пространства (количество компонент вектора). Так как вектор-столбец является матрицей, к нему применимы все свойства матриц, в том числе и умножение.
Вернёмся к матрице поворота.
Умножим матрицу поворота на вектор \(\vec{a}\). Запишем получившийся вектор:\[\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x\cos{\varphi} - a_y\sin{\varphi}\\ a_x\sin{\varphi} + a_y\cos{\varphi} \end{pmatrix}.\]Таким образом, при помощи матрицы направляющих косинусов мы получили координаты вектора \(\vec{b}\), полученного поворотом вектора \(\vec{a}\) на угол \(\varphi\).