Рассмотрим пример:

Рис. 2: Пример.

Пусть

\[\vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix},\quad\varphi=\frac{\pi}{4}.\]Найдём соответствующий вектор \(\vec{b}\):

\[\vec{b} = \begin{pmatrix} a_x\cos{\varphi} - a_y\sin{\varphi}\\ a_x\sin{\varphi} + a_y\cos{\varphi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos{\dfrac{\pi}{4}}\\ 2\sin{\dfrac{\pi}{4}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ \sqrt{2} \end{pmatrix}.\]При повороте длина осталась неизменной: \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\).