Получив общее выражение для радиуса кривизны, получим теперь формулу для двумерного движения в декартовой системе координат, где траектория представлена в виде \(y=f(x)\) (см. Рис. 4).

Рис. 4: Функциональная зависимость \(y=f(x)\).

С одной стороны, \[R=\frac{ds}{d\varphi}.\]С другой стороны,\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},\]\[d\varphi=d\alpha,\quad \tg\alpha=\frac{dy}{dx}.\]Так, можно получить\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\tg\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\frac{d\alpha}{dx}=\frac{d\alpha}{dx}(1+\tg^2x)=\frac{d\alpha}{dx}\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)\]\[\Rightarrow d\alpha=dx\cdot\frac{d^2y}{dx^2}\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right)^{-1}\]\[\Rightarrow R=\dfrac{\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)^{3/2}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}}.\]