Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории. 

Рис. 1: Криволинейное движение.

Введём касательный к траектории движения вектор \(\vec\tau\) и перпендикулярный ему вектор \(\vec n\). Выражение для скорости:\[\vec\upsilon = \upsilon\vec\tau.\]Найдём ускорение точки \(\vec w\):\[\vec w = \dfrac{d\vec\upsilon}{dt} = \dot\upsilon\vec\tau + \upsilon\dot{\vec\tau}.\]Проекция ускорения на вектор \(\vec\tau\) называют тангенциальным ускорением \(a_\tau\). Данная величина показывает изменение скорости вдоль траектории движения точки. За изменение направления движения отвечает проекция ускорения на вектор \(\vec n\), называемая нормальным ускорением \(a_n\).

Для нахождения нормального ускорения распишем по примеру прошлого параграфа производную вектора \(\vec\tau\):\[\dot{\vec\tau} = \dfrac{d\vec\tau}{dt} = \dfrac{\vec nd\varphi}{dt} = \dfrac{\vec n}{R}\dfrac{dS}{dt} = \dfrac{\upsilon}{R}\vec n,\]где \(R\) - радиус кривизны траектории. Подставив в формулу для \(\vec w\), получим:\[\vec w = \dot\upsilon\vec\tau + \dfrac{\upsilon^2}{R}\vec n = a_\tau\vec\tau + a_n\vec n.\]