Важным примером криволинейного движения материальной точки является движение в поле действия силы тяжести, называемое баллистическим.

Рис. 1: Баллистическое движение.

Рассмотрим двумерную задачу: материальная точка в начальный момент времени начинает движение из начала координат с начальной скоростью \(\upsilon_0\). Точка движется в поле действия силы тяжести, ускорение свободного падения \(g\) направлено против оси \(y\), ускорение по оси \(x\) отсутствует:\[a_x = 0,\quad a_y = -g.\]Рассмотрим компоненту ускорения \(a_x\). Проинтегрировав по времени, получим выражение для проекции скорости:\[\upsilon_x = \mathrm{const}.\]Так как проекция скорости на ось \(x\) является константой, она определяется из положения системы в начальный момент времени, поэтому:\[\upsilon_x = \upsilon_{0_{x}} = \upsilon_0\cos\alpha.\]Проинтегрировав полученный результат еще раз, получим выражение для координаты \(x\):\[x = x_0 + \upsilon_0\cos\alpha\;t,\]координата в начальный момент времени равна нулю, следовательно:\[x(t) = \upsilon_0\cos\alpha\;t.\]Рассмотрим компоненту ускорения \(a_y\). Проинтегрировав, получим выражения для скорости и координаты:\[\upsilon_y = \upsilon_{0_y} - gt = \upsilon_0\sin\alpha - gt,\]\[y = y_0 + \upsilon_0\sin\alpha\;t - \dfrac{gt^2}{2},\]\[y_0 = 0\Longrightarrow y(t) = \upsilon_0\sin\alpha\;t - \dfrac{gt^2}{2}.\]

Запишем полученную систему уравнений для двух координат:

$$\begin{cases} x = \upsilon_0t\cos\alpha,\\ y = \upsilon_0t\sin\alpha - \dfrac{gt^2}{2}. \end{cases}$$.

Найдём максимальную высоту подъёма материальной точки. Для этого найдем экстремальное значение координаты \(y\) взятием производной по времени: \[\dot y = \upsilon_0\sin\alpha - gt_m = 0 \Longrightarrow t_m = \dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{g}.\] Максимальная высота подъема: \[H = y(t_m) = \dfrac{\upsilon^2_0\sin^2\alpha}{2g}.\] Легко заметить, что максимальная высота подъёма наблюдается тогда, когда угол между направлением скорости и горизонтом составляет\(\pi/2\), т.е. тело подброшено вертикально вверх.

Теперь найдём максимальную дальность полёта тела. Так как траектория движения представляет из себя параболу, полное время движения будет равно двойному времени достижения максимальной высоты:\[t_{всё} = 2t_m = \dfrac{2\upsilon_0\sin\alpha}{g}.\] Дальность полёта:\[L = x(t_{всё}) = \upsilon_0\cos\alpha\cdot\dfrac{2\upsilon_0\sin\alpha}{g} = \dfrac{\upsilon^2_0\sin2\alpha}{g}.\] Максимальная дальность полёта достигается тогда, когда \(\sin2\alpha\) принимает максимальное значение, т. е. когда тело брошено под углом \(\pi/4\) к горизонту.